CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

supposé sans aucun fondement; et elle n'aurait pu Tètre : la proposition qu'elle exprime n'est point de nature à être découverte par voie d'induction ; on ne peut pas la connaître pour certains corps et l'ignorer pour les autres; elle est nécessaire pour tous, afin que V état de la superficie ne subisse pas dans un temps déterminé un changement infini. Nous avons omis dans notre Mémoire les détails de la démonstration, parce qu'ils consistent seulement dans l'application de propositions connues. Il suffisait dans cet écrit de donner le principe et le résultat,* comme nous l'avons fait dans l'article 15 du Mémoire cité.

On déduit aussi de cette même condition l'équation générale dont il s'agit, en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molécule placée à la surface reçoit et communique. Ces calculs, très composés, ne changent rien à la nature de la démonstration.

Dans la recherche de l'équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peut supposer que la masse n'est point homogène, et il est très facile de déduire cette équation de l'expression analytique du flux; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.

3"* Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l'air : celle qu'il a admise pour le cas où l'air est emporté avec une vitesse constante est d'autant plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre; elle aurait lieu exactement si cette différence était infiniment petite.

Âmontons a fait une expérience remarquable sur l'établissement de la chaleur dans un prisme dont l'extrémité est assujettie à une température déterminée. La loi logarithmique du décroissement des températures dans ce prisme a été donnée pour la première fois par Lambert, de l'Académie de Berlin. MM. Biot et de Rumford ont confirmé cette loi par des expériences.

Pour découvrir les équations différentielles du mouvement variable de la chaleur, et même dans les cas les plus élémentaires, comme celui du prisme cylindrique d'un très petit rayon, il était nécessaire de connaitre l'expression mathématique de la quantité de chaleur qui tra-

verse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n'est pas seulement proportionnelle à la différence des températures des deux sections qui terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu'elle est aussi en raison inverse de l'épaisseur de cette tranche ; c'est-à-dire que, si deux tranches d'un même prisme étaient inégalement épaisses et que, pour la première y la différence des températures des deux hases fût la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement k des tranches dont l'épaisseur est infiniment petite : il s'applique à des prismes d'une épaisseur quelconque. Cette notion du flux est fondamentale; tant qu'on ne Ta point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l'équation qui l'exprime.

Il est évident que l'accroissement instantané de la température d'un point est proportionnel à l'excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue sur la quantité qu'il a perdue, et qu'une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat; mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même : elle consiste k former réellement l'équation différentielle, ce qui exige que l'on considère ce fait dans ses éléments. Si, au lieu d'employer l'expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de cette expression, on fait naître par cela même une difficulté qui n'est nullement inhérente à la question; et il n'y a aucune théorie mathématique qui n'en présentât de semblables si l'on commençait par altérer le principe des démonstrations. Non seulement on ne peut former ainsi une équation différentielle, mais il n'y a rien de plus opposé à une équation qu'une proposition de ce genre, où l'on exprimerait l'égalité de quantités qui ne peuvent être comparées. Pour éviter cette erreur, il suffit de donner quelque attention à la démonstration et aux conséquences du lemme précédent (art. 65, G6, 67 et 75).

4^ Quant aux notions dont nous avons déduit pour la première fois les équations différentielles, elles sont celles que les physiciens ont toujours admises. Nous ignorons si quelqu'un a pu concevoir le mou-