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dans le problème des cordes vibrantes. — La valeur do la série

sinjTsinVaH — sin2j:sinV2a-i- tz sin3xsinV3a-h. . .

est - j si Ton choisit pour x une quantité plus grande que o et moindre

que a; et la valeur de la série est o, si x est une quantité quelconque

comprise entre a et - • Application à d'autres exemples remarquables :

lignes courbes ou surfaces qui se confondent dans une partie do leur cours, et diffèrent dans toutes les autres parties aiK

231-233. Une fonction quelconque F(.r) peut être développée sous cette forme :

!rtiC08Jr-h atcosijr -\- a^cos^x -^ a^cosix -^ . . . 6i s\nx-hO% sm2J7-i- b^ sm3j: -\- b^ sm4.r-H

Chacun des coefiQcients est une intégrale définie. On a en général

F{x)dxj Tzai= I ¥{x)co8ixdx, izbi^ j ¥(x)sinixdjr.

On forme ainsi ce théorème général, qui est un des éléments principaux de notre analyse :

F(.i')= \^ l cosix f F(a)cos/arfa-t- sinrr / F(a) sin/af?a j

XTZ ¥{x) = ^ / F(a) cos«(.r — a)rfa 22^

234. On doit regarder comme entièrement arbitraires les valeurs de F('^') ^ui

répondent aux valeurs de x comprises entre — ir et -f- tt. On peut aussi choisir pour x des limites quelconques 23o

235. Remarques diverses sur Tusage des développements en séries trigonomé-

triques 23 1

SECTION VII