CHAPITRE I, - INTRODUCTION

SECTION V

LOI DES TEMPÉRATURES PERMANENTES DANS UN PRISME D*UNE PETITE ÉPAISSEUR.

On appliquera facilement les principes qui viennent d'être exposés k la question suivante, qui est très simple en elle-même, mais dont il importait de. fonder la solution sur une théorie exacte.

Une barre métallique, dont la forme est celle d'un parallélépipède rectangle d'une longueur infinie, est exposée à l'action d'un foyer do chaleur qui donne à tous les points de son extrémité A une température constante. Il s'agit de déterminer les températures fixes des différentes sections de la barre.

On suppose que la sectix)n perpendiculaire à l'axe est un carré dont le côté il est assez petit pour que l'on puisse, sans erreur sensible, regarder comme égales les températures des différents points d'une même section. L'air dans lequel la barre est placée est entretenu à une température constante o, et emporté par un courant d'une vitesse uniforme.

La chaleur passera successivement dans l'intérieur du solide; toutes ses parties situées à la droite du foyer, et qui n'étaient point exposées immédiatement à son action, s'échaufferont de plus en plus; mais la température de chaque point ne pourra pas augmenter au delà d'un certain terme. Ce maximum de température n'est pas le même pour chaque section; il est en général d'autant moindre que cette section est plus éloignée de l'origine; on désignera par v la température fixe d'une section perpendiculaire à l'axe et placée à la distance x de l'origine A.

Avant que chaque point du solide ait atteint son plus haut degré de chaleur, le système des températures varie continuellement et s'approche de plus en plus d'un état fixe, qui est celui que l'on considère.

('et état final se conserverait de lui-même s'il était formé. Pour que 1<* système des températures soit permanent, il est nécessaire que la quantité de chaleur qui traverse, pendant Tunité de temps, une section placée à la distance x de Torigine compense exactement toute la chaleur qui s*échappe, dans le même temps, par la partie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la même section. La tranche dont l'épaisseur est dx^ et dont la surface extérieure est Sldr, laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur exprimée par S/ihdx^ h étant la mesure de la conducibililé extérieure du prisme. Donc, en prenant l'inléfçrale /8/iA'^/,r depuis X =z o jusqu'à ^ = x> , on trouvera la quantité de chaleur qui sort de toute la surface de la barre pendant l'unité de temps; et, si l'on prend la même intégrale depuis x = o jusqu'à x = x, on aura la quantité de chaleur perdue par la partie de la surface comprise entre le foyer et la section placée à la distance x. Désignant par C la première intégrale dont la valeur est constante et par fShhdv la valeur variable de la seconde, la différence C—f8hli'dx exprimera la quantité totale de chaleur qui s'échappe dans l'air à travers la partie de la surface placée à la droite de la section. D'un autre côté, la tranche du solide, comprise entre deux sections infiniment voisines placées aux distances x et x-hdx, doit être assimilée à un solide infini, terminé par deux plans parallèles assujettis à des températures fixes r et r -+- d{\ puisque, selon l'hypothèse, la température ne varie pas dans toute l'étendue d'une même section. L'épaisseur du solide est dx et l'étendue de la section est ^P : donc la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément, pendant l'unité de temps, à travers une section de ce solide est,

d'après les principes précédents, — 4/=^K ^-y K étant la conducibilité

spécifique intérieure; on doit donc avoir l'équation

- 4/'K '-^^C -f^hlvdjc ou K/^' =. ihv.