CHAPITRE I. - INTRODUCTION

On obtiendrait le même résultat en considérant l'équilibre de la chaleur dans la seule tranche infiniment petite comprise entre les deux sections dont les distances sont x et œ -h dx. En effet, la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse la première section

placée à la distance x^ est — 4/^K^- Pour trouver celle qui s'écoule

§ pendant le même temps, à travers la section suivante placée à la

distance x-hdx, il faut, dans l'expression précédente, changer x en

.r -h ctr, ce qui donne — 4^^K -r^ -h rf^-^^ j • Si Ton retranche cette

seconde expression de la première, on connaîtra combien la tranche que terminent les deux sections acquiert de chaleur pendant Tunité de temps; et, puisque l'état de cette tranche est permanent, il faudra que toute cette chaleur acquise soit égale à celle qui se dissipe dans l'air à travers la surface extérieure Sldx de cette même tranche; or cette dernière quantité de chaleur est Shlvdv; on obtiendra donc la même équation

Shlvdx=:^nKdf'^\ ou ^ = ?4i^

rf.r« ~"K/

De quelque manière que l'on forme cette équation, il est nécessaire de remarquer que la quantité de chaleur qui traverse la face de la tranche dont la distance est x a une valeur finie, et que son expression

exacte est — ^l'^K -r-- Cette tranche étant comprise entre deux surfaces

dont la première a la température {^ et la seconde une température moindre v^', on aperçoit d'abord que la quantité de chaleur qu'elle reçoit par la première surface dépend de la. différence r — / et lui est proportionnelle ; mais cette remarque ne suffit pas pour établir le calcul. La quantité dont il s'agit n'est point une différentielle : elle a une valeur finie, puisqu'elle équivaut à toute la chaleur qui sort par la

^ï THÉORIE 1)Ë LA CUALELK.

parlie de la surface extérieure du prisme qui est située à la droite de la section. Pour s*en former une idée exacte, il faut comparer la tranche dont Tépaisscur est dx à un solide terminé par deux plans parallèles, dont la distance est e et qui sont retenus à des températures inégales, a et b. La quantité de chaleur qui pénètre dans un pareil prisme, à travers la surface la plus échauffée, est en effet proportionnelle à la différence a — b des températures extrêmes; mais elle ne dépend pas seulement de cette différence : toutes choses d'ailleurs égales, elle est d'autant moindre que le prisme a plus d'épaisseur, et, en général, elle

est proportionnelle à C'est pourquoi la quantité de chaleur qui

pénètre par la première surface dans la tranche dont l'épaisseur est dx

est proportionnelle à —.

Nous insistons sur cette remarque, parce que l'omission que l'on en avait faite a été le premier obstacle à l'établissement de la théorie. En ne faisant point une analyse complète des éléments de la question, on obtenait une équation non homogène; et, à plus forte raison, on n'aurait pu former les équations qui expriment le mouvement de la chaleur dans des cas plus composés.

Il était nécessaire aussi d'introduire dans le calcul les dimensions du prisme, afin de ne point regarder comme générales les conséquences que l'observation avait fournies dans un cas particulier. Ainsi l'on a reconnu par l'expérience qu'une barre de fer, dont on échauffait l'extrémité, ne pouvait acquérir, à G pieds de distance du foyer, une température d'un degré (octogésimal); car, pour produire cet effet, il faudrait que la chaleur du foyer surpassât beaucoup celle qui mettra le fer en fusion; mais ce résultat dépend de l'épaisseur du prisme que l'on a employé. Si elle eût été plus grande, la chaleur se serait propagée à une plus grande distance; c'est-à-dire que le point de la barre qui acquiert une température fixe d'un degré est d'autant plus éloigné du foyer que la barre a plus d'épaisseur, toutes les autres conditions demeurant les mêmes. On peut toujours élever d'un degré la température de l'extrémité d'un cylindre de fer en échauffant ce solide par son