CHAPITRE I. - INTRODUCTION

(les molécules qui sont situées k la superficie sa température actuelle, exprimée par l'équation générale

nous allons démontrer que ces mêmes causes qui, par hypothèse, retiennent les dernières tranches du solide dans leur état initial, suffisent pour conserver aussi la température actuelle de chacune des molécules intérieures, en sorte que cette température ne cessera point d'être représentée par l'équation linéaire.

L'examen de cette question est un élément de la théorie générale ; il servira a faire connaître les lois du mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide d'une forme quelconque; car chacune des niolécules prismatiques dont le corps est composé est, pendant un temps infiniment petit, dans un état semblable à celui qu'exprime l'équation linéaire {a). On peut donc, en suivant les principes ordinaires de l'Analvse différentielle, déduire facilement de la notion du mouvement uniforme les équations générales du mouvement varié.

Pour prouver que, les extrémités du solide conservant leurs températures, il ne pourra survenir aucun changement dans l'intérieur de la masse, il suffit de comparer entre elles les quantités de chaleur qui, pendant la durée d'un même instant, traversent deux plans parallèles. Soit b la distance perpendiculaire de ces deux plans que l'on suppose d'abord parallèles au plan horizontal des xy. Soient m et m' deux molécules infiniment voisines, dont l'une est au-dessous du premier plan horizontal et l'autre au-dessus; soient t, y, z les coordonnées de la première et x\ y\ z' les coordonnées de la seconde. On désignera pareillement deux molécules M et M' infiniment voisines, séparées par le second plan horizontal et situées, par rapport à ce second plan, de la même manière que m et m' le sont par rapport au premier, c'està-dire que les coordonnées de M sont ^r, y^ z-h b^ et celles de M' sont .r', y, s' H- b. Il est manifeste que la distance mm' des deux molécules

m et m* est égale à la dislance MM' des deux molécules M et M'; de plus, soient s^ la température de m et v' celle de m\ soient aussi V et V les températures de M et M'; il est facile de voir que les deux différences ^ — f'' et V -- V sont égales; en effet, en substituant d'abord les coordonnées de m et m' dans Téquation générale

^^ = A -h ax -h by -h czj

on trouve

V— v' =ia{x — x') -\-b(y — y') -\-c{z — 5'),

et, en substituant ensuite les coordonnées de M et M', on trouve aussi

Or la quantité de chaleur que m envoie a m' dépend de la distance mm' qui sépare ces molécules, et elle est proportionnelle à la différence K' — v' de leurs températures. Cette quantité de chaleur envoyée peut être représentée par q[^— ^')dt; la valeur du coefficient q dépend d'une manière quelconque de la distance mm' et de la nature de la substance dont le solide est formé; dl est la durée de l'instant. La quantité de chaleur envoyée de M à M', ou l'action de M sur M', a aussi pour expression q{\ ~ y)dt, et le coefficient q est le même que dans la valeur q{i^ — s^')dt^ puisque la distance MM' est égale à mjii et que les deux actions s'opèrent dans le même solide; de plus, V -- V est égal a r — r'; donc les deux actions sont égales.

Si l'on choisit deux autres points n et n' extrêmement voisins l'un de l'autre, qui s'envoient de la chaleur k travers le premier plan horizontal, on prouvera de même que leur action est égale k celles de deux points homologues N et N' qui se communiquent la chaleur à travers le second plan horizontal. On en conclura donc que la quantité totale de chaleur qui traverse le premier plan est égale à celle qui traverse le second pendant le même instant. On tirera la même conséquence de la comparaison de deux plans parallèles au plan des xs, ou de deux autres plans parallèles au plan des j5. Donc, une partie quelconque du solide, comprise entre six plans rectangulaires, reçoit par