CHAPITRE I. - INTRODUCTION

chacune des faces autant de chaleur qu'elle en perd par la face opposée; donc il n'y a aucune portion du solide qui puisse changer de température.

On voit par là qu'il s'écoule, à travers un des plans dont il s'agit, une quantité de chaleur qui est la même à tous les instants, et qui est aussi la même pour toutes les autres tranches parallèles.

Pour déterminer la valeur de ce flux constant, nous la comparerons à la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément dans un cas plus simple que nous avons déjà traité. Ce cas est celui d'un solide compris entre deux plans infinis et entretenus dans un état constant. Nous avons vu que les températures des différents points de la masse sont alors représentées par l'équation v= A-^- cz; nous allons démontrer que le flux uniforme de chaleur qui se propage en sens vertical dans le solide infini est égal à celui qui s'écoule dans le même sens à travers le prisme compris entre six plans rectangulaires. Cette égalité a lieu nécessairement si le coefficient c de l'équation ç = A -^cz, appartenant au premier solide, est le même que le coefficient c dans l'équation plus générale V = A -{- ax -h by -h cz qui représente l'état du prisme. En effet, désignons par H dans ce prisme un plan perpendiculaire aux 5, et par m et [L deux molécules extrêmement voisines l'une de l'autre, dont la première m est au-dessous du plan H, et la seconde est au-dessus de ce plan; soient i^ la température de m, dont les coordonnées sont x, y, s, et M^ la température de p., dont les coordonnées sont x -^ a., y -\- ^, 5 -h y. Choisissons une troisième molécule [x', dont les coordonnées soient x — ol, y— ^, z-hy, et dont la température soit désignée par iv'. On voit que [l et [// sont sur un même plan horizontal, et que la verticale élevée sur le milieu de la droite [W qui joint ces deux points passe par le point m, en sorte que les distances /wjjt. et /n[x' sont égales. L'action de m sur jx, ou la quantité de chaleur que la première de ces molécules envoie à l'autre à travers le plan H, dépend de la différence i' — (V de leurs températures. L'action de m sur jx' dépend de la même F. 10

r* THÉORIE DE LA CH\LELR.

manière do la différence i^ — iv des températures des molécules* puisque la distance de m à a est la même que celle de m à kl. Ainsi, en exprimant par y(r — u"; Faction de m sur a pendant l'unité de temps, on aura y 'r — iv') pour exprimer Faction de m sur a', q étant un facteur inconnu, mais commun, qui dépend et de la distance //la et de la nature du solide. Donc la somme des deux actions exercées pendant l'unité de temps est y(r — (v -f- i' — w^'').

Si l'on substitue, au lieu de a:, y et :?, dans l'équation générale

t'=: A -1- ax -h ùy -h cz.

les coordonnées de m et ensuite celles de u. et ;x', on trouvera

V — iv'^i-r- ax-h b^ — cy.

La somme des deux actions de m sur jjl et de m sur a' est donc -- 2qcy.

Supposons maintenant que le plan H appartienne au solide infini pour lequel l'équation des températures est i^ = A-h cz, et que l'on considère aussi, dans ce solide, les molécules m, ^l et (/.' dont les coordonnées sont ,T, y, z pour la première, a?4- a, y 4- ?, ^ -f- y pour la seconde et j? — a, y — p, 5 -h y pour la troisième; on trouvera, comme précédemment,

V — w -'r V — iv' z=. — 2Cy.

Ainsi la somme des deux actions de m sur [a et de m sur ji.' est la même dans le solide infini que dans le prisme compris entre six plans rectangulaires.

On trouverait un résultat semblable si l'on considérait l'action d'un autre point n inférieur au plan H sur deux autres v et v', placés à une même hauteur au-dessus du plan. Donc la somme de toutes les actions de ce genre, qui s'exercent k travers le plan H, c'est-à-dire la quantité totale de chaleur qui, pendant l'unité de temps, passe au-dessus de cette surface, en vertu de l'action des molécules extrêmement voisines qu'elle sépare, est toujours la même dans l'un et l'autre solide.