CHAPITRE L - INTRODUCTION

au-dessous du plan. La somme de toutes les actions partielles qui s'exercent à travers le cercle o>, c'est-à-dire la somme de toutes les quantités de chaleur qui, traversant un point quelconque de ce cercle, passent de la partie du solide qui est inférieure au plan dans la partie supérieure, compose le flux dont il faut trouver l'expression.

Il est facile de concevoir que ce flux ne doit pas être le même dans toute l'étendue du solide et que, si, en un autre point w', on traçait un cercle horizontal w' égal au précédent, les deux quantités de chaleur qui s'élèvent au-dessus de ces plans o> et w', pendant le même instant, pourraient n'être point égales; ces quantités sont comparables entre elles et leurs rapports sont des nombres que l'on peut facilement déterminer.

Nous connaissons déjà la valeur du flux constant pour le cas du mouvement linéaire et uniforme; ainsi, dans un solide compris entre deux plans horizontaux inflnis dont l'un est entretenu à la température a et l'autre à la température 6, le flux de chaleur est le même pour chaque partie de la masse; on peut le considérer comme ayant lieu dans le sens vertical seulement. Sa valeur correspondante à l'unité

de surface et à l'unité de temps est K ~ > e désignant la distance

perpendiculaire des deux plans et K la conducibilité spécifique; les températures des diff*érents points du solide sont exprimées par l'équation

LorsquMl s'agit d'un solide compris entre six plans rectangulaires parallèles deux à deux, et lorsque les températures des différents points sont exprimées par l'équation linéaire

A H- ax -f- 6/ 4- cz,

la propagation a lieu en même temps selon les trois directions des a-, des y et des s; la quantité de chaleur qui s'écoule à travers une por-

tion déterminée d'un plan parallèle k celui des xy est la même dans toute l'étendue du prisme; sa valeur correspondante à l'unité. de surface et k l'unité de temps est — cK; elle est — tK dans le sens des y^ et — rtK dans celui des x.

En général, la valeur du flux vertical, dans les deux cas que l'on vient de citer, ne dépend que du coefficient de z et de la conducibilité

spécifique K; cette valeur est toujours égale k — Ky^-

L'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'instant A, s'écoule k travers un cercle horizontal infiniment petit dont la surface est œ, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle dans la partie supérieure est, pour les deux cas dont il s'agit,

— K -c- 0) dt, oz

Il est aisé maintenant de généraliser ce résultat et do reconnaître qu'il a lieu, quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé par l'équation

En effet, désignons par x' ^ y, z' les coordonnées du point m et par v' sa température actuelle. Soient 0?'+ ^, y-hr), z' -^l, les coordonnées d'un point [x infiniment voisin du point m et dont la température est iv; ç, y;, ^ sont des quantités infiniment petites, ajoutées aux coordonnées ^'» j'> ^'; ^ll^s déterminent la position des molécules infiniment voisines du point rriy par rapport k trois axes rectangulaires dont l'origine est en m et qui seraient parallèles aux axes des Xy des y et des z. En différentiant l'équation

et remplaçant les différentielles par E, yj, ^, on aura, pour exprimer la valeur de w qui équivaut k (^ -h rf(^, l'équation linéaire

OJc ^ dy oz

les coefficients ^', .-> ~y-> -^ sont des fonctions de x, y, z, t dans les-

ox oy oz -> j -> ^

quelles on a mis pour x^ y, s les valeurs données et constantes x\ y\ z' qui conviennent au pointm.

Supposons que le même point m appartienne aussi à un solide compris entre six plans rectangulaires, que les températures actuelles des points de ce prisme qui a des dimensions finies soient exprimées par

Téquation linéaire

jï' = A -+- aç + 6yî -f- cC,

et que les molécules placées sur les faces qui terminent le solide soient retenues par une cause extérieure à la température qui leur est assignée par l'équation linéaire; E,7),2^ sont les coordonnées rectangulaires d'une molécule du prisme, dont la température est (v, et qui est rapportée aux trois axes dont l'origine est en m.

Cela posé, si l'on prend pour valeurs des coefficients constants A, a, b, c, qui entrent dans l'équation relative au prisme, les quantités v\

^' T"' TF ^^' appartiennent à l'équation différentielle, l'état du prisme exprimé par l'équation

ox . ôy oz

coïncidera, le plus qu'il est possible, avec l'état du solide; c'est-à-dire que toutes les molécules infiniment voisines du point m auront la même température, soit qu'on les considère dans le solide ou dans le prisme. Cette coïncidence du solide et du prisme est entièrement analogue à celle des surfaces courbes avec les plans qui les touchent.

Il est évident, d'après cela, que la quantité de chaleur qui s'écoule dans le solide à travers le cercle w, pendant l'instant dt, est la même que celle qui s'écoule dans le prisme à travers le même cercle; car toutes les molécules dont l'action concourt à l'un et à l'autre effet ont la même température dans les deux solides. Donc le flux dont il s'agit

Al)

a pour expression, dans l'un et l'autre solide, — Kx:<^^*'^- H serait — K^ cor//, si le cercle w dont le centre est m était perpendiculaire à

Taxe des j, et — K-r-wrf/ si ce cercle était perpendiculaire à Taxe des oc.

La valeur du flux que Ton vient de déterminer varie dans le solide d'un point à un autre, et elle varie aussi avec le temps. On pourrait concevoir qu'elle a, dans tous les points de l'unité de surface, la même valeur qu'au point m et qu'elle conserve cette valeur pendant l'unité

de temps; alors le flux serait exprimé par — Kj^> il serait — Kj-

dans le sens des y et — K v- dans celui des x. Nous employons ordinairement dans le calcul cette valeur du flux ainsi rapportée a l'unité de temps et à l'unité de surface.

Ce théorème sert, en général, à mesurer la vitesse avec laquelle la chaleur tend à traverser un point donné d'un plan, situé d'une manière quelconque dans l'intérieur d'un solide dont les températures varient avec le temps. Il faut, par le point donné /w, élever une perpendiculaire sur le plan et élever en chaque point de cette perpendiculaire des ordonnées qui représentent les températures actuelles de ses difl*érents points. On formera ainsi une courbe plane dont l'axe des abscisses est la perpendiculaire. La fluxion de l'ordonnée de cette courbe, qui répond au point m, étant prise avec un signe contraire, exprime la vitesse avec laquelle la chaleur se porte au delà du plan. On sait que cette fluxion de l'ordonnée est la tangente de l'angle formé par l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses.

Le résultat que l'on vient d'exposer est celui dont on fait les applications les plus fréquentes dans la Théorie de la chaleur. On ne peut en traiter les différentes questions sans se former une idée très exacte de la valeur du flux en chaque point d'un corps dont les températures sont variables. Il est nécessaire d'insister sur cette notion fondamentale; l'exemple que nous allons rapporter indiquera plus clairement l'usage que Ton en fait dans le calcul.

Supposons que les différents points d'une masse cubique, dont le côté est Tc, aient actuellement des températures inégales, représentées par l'équation

V = cosa: cosj' cos-3.

Les coordonnées ^, v, :; sont mesurées sur trois axes rectangulaires, dont l'origine est au centre du cube et qui sont perpendiculaires aux faces. Les points de la surface extérieure du solide ont actuellement la température o, et l'on suppose aussi que des causes extérieures conservent à tous ces points leur température actuelle o. D'après cette hypothèse, le corps se refroidira de plus en plus; tous les points situés dans l'intérieur de la masse auront des températures variables et, après un temps infini, ils acquerront tous la température o de la surface.

Or nous démontrerons par la suite que l'état variable de ce solide est exprimé par l'équation