V -- e-^^ cos X cos j cos z
le coefficient g est égal à p|r> K est la conducibilité spécifique de la
substance dont le solide est formé, D est la densité et C la chaleur spécifique; t est le temps écoulé.
Nous supposons ici que l'on admet la vérité de cette équation, et nous allons examiner l'usage que l'on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donné, parallèle à l'un des plans rectangulaires.
Si, par le point m dont les coordonnées sont ^, j, 5, on mène un plan perpendiculaire aux 5, on trouvera, d'après l'article précédent, que la valeur du flux en ce point et à travers le plan est
— K ;r- ou K e-«^ cos x cos j sin :;. oz
La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt^ un rec- F. II
tangle infiniment petit situé sur ce plan et qui a pour côtés dx et dy est
Kc-^' cos J? cos/ sins dx dy dt.
Ainsi la chaleur totale qui, pendant l'instant dt, traverse l'étendue entière du même plan est
Ke-«^ smz dt f f co%x CQsy dx dy \
la double intégrale étant prise depuis x = — ^tz jusqu'à x = ^t:, et depuis j = — ^ir jusqu'à y = ^Tt. On trouvera donc pour l'expression
de cette chaleur totale
t\}lie-^^?\nzdt.
Si l'on prend ensuite l'intégrale par rapport à /, depuis / = o jusqu'à / = /, on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan, depuis que le refroidissement a commencé jusqu'au moment actuel.
Cette intégrale est ^ûï\z{\ — e~^^)\ elle a pour valeur à la surface (i — c~^'), en sorte qu'après un temps infini la quantité de chaleur
perdue par l'une des faces est —^' Le même raisonnement s'appli-
quant à chacune des six faces, on conclut que le solide a perdu par son refroidissement complet une chaleur totale dont la quantité est
ou 8CD, puisque ^équivaut à -^' Cette chaleur totale qui se dis-
g . . ^ . CD
sipe pendant la durée du refroidissement doit être, en effet, indépendante de la conducibilité propre K, qui ne peut influer que sur le plus ou moins de vitesse du refroidissement.
On peut déterminer d'une autre manière la quantité de chaleur que le solide perd pendant un temps donné, ce qui servira, en quelque sorte, à vérifier le calcul précédent. En effet, la masse de la molécule rectangulaire dont les dimensions sont tir, dy, dz est \)dxdydz\ par conséquent la quantité de chaleur qu'il faut lui donner pour la porter de la température o à celle de l'eau bouillante est (IXidxdydz, et, s'il fallait élever la molécule à la température ^, cette chaleur excédante serait {> CD dxdy dz.
