CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

L'anneau solide ou armille est engendré par la révolution d'une section rectangulaire autour d'un axe perpendiculaire au plan de l'anneau {fig. 3); /est le périmètre de la section dont S est la surface, le coefficient h mesure la conducibilité extérieure, K la conducibilité propre, C la capacité spécifique de chaleur, D la densité. La ligne oxx'x" représente la circonférence moyenne de l'armille, ou celle qui passe par les centres de figure de toutes les sections; la distance d'une section à l'origine o est mesurée par l'arc dont la longueur est a:; R est le rayon de la circonférence moyenne.

Fig. 3.

On suppose qu'a raison des petites dimensions et de la forme de la section on puisse regarder comme égales les températures des différents points d'une même section.

Concevons que l'on donne actuellement aux différentes tranches do l'armille des températures initiales arbitraires, et que ce solide soit ensuite exposé à l'air, qui conserve la température o et qui est déplacé avec une vitesse constante; le système des températures variera continuellement; la chaleur se propagera dans l'anneau et elle se dissipera par la surface : on demande quel sera l'état du solide dans un instant donné.

Soit V la température que la section placée à la distance x aura acquise après le temps écoulé /; f^ est une certaine fonction de x et de t^ dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures initiales; c'est cette fonction qu'il s'agit de découvrir.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une tranche infiniment petite, comprise entre une section placée à la distance x et une autre section placée à la distance x + dx. L'état de cette tranche pendant la durée d'un instant est celui d'un solide infini que terminent deux plans parallèles retenus à des températures inégales; ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule pendant cet instant di à travers la première section, et passe ainsi de la partie du solide qui précède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée, d'après les principes établis dans l'Introduction, par le produit de quatre facteurs,

savoir la conducibilité K, l'aire de la section S, le rapport -p et la

durée de l'instant; elle a pour expression — KS j-e//. Pour connaître

la quantité de chaleur qui sort de la même tranche à travers la seconde section et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer x en x-hdx dans l'expression précédente ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à X : ainsi la tranche reçoit par une de ses faces une quantité de

chaleur égale k — KS j-di et perd par la face opposée une quantité de

chaleur exprimée par — KS -7^ rf/ — KS y-^cterf/. Elle acquiert donc,

à raison de sa position, une quantité de chaleur égale à la différence

des deux quantités précédentes, qui est KS -r-^û/lr rf/.

D'un autre côté, cette même tranche, dont la surface extérieure est Idx et dont la température diffère infiniment peu de Çj laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dl, une quantité de chaleur équivalente à hhdxdl; il suit de là que cette partie infiniment petite du solide conserve, en effet, une quantité de chaleur représentée par

KS ^r— 5 djc dt — hlv dx dt

et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.