CHAPITRE IL- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Le coefficient C exprime ce qu'il faut de chaleur pour élever l^unité (le poids de la substance dont il s'agit depuis la température o jusqu'à la température i; par conséquent, en multipliant le volume Sdx de la tranche infiniment petite par la densité D, pour connaître son poids, et par la capacité spécifique de chaleur C, on aura CDSdx^ pour la quantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la température o jusqu'à la température i. Donc l'accroissement de la température qui résulte de l'addition d'une quantité de chaleur égale

à KS -T—^dxdt — hhdxdt se trouvera en divisant cette dernière quantité par CQ?>dx. Donc, en désignant selon l'usage par -rrdt l'accroissement de température qui a lieu pendant l'instant dt, on aura l'équation

dv Yi d^v hl

Nous expliquerons par la suite l'usage que l'on doit faire de cette équation pour en déduire une solution complète, et c'est en cela que consiste la difficulté de la question; nous nous bornerons ici à une remarque qui concerne l'état permanent de l'armille.

Supposons que, le plan de l'anneau étant horizontal, on place au-dessous de divers points m, n, /?, y, . . . des foyers de chaleur dont chacun exerce une action constante; la chaleur se propagera dans le solide et, celle qui se dissipe par la surface étant incessamment remplacée par celle qui émane des foyers, la température de chaque section du solide s'approchera de plus en plus d'une valeur stationnaire qui varie d'une section à l'autre. Pour exprimer, au moyen de l'équation (i), la loi de ces dernières températures qui subsisteraient d'elles-mêmes si elles étaient établies, il faut supposer que la quantité v ne varie point par

rapport à /, ce qui rend nul le terme ^- On aura ainsi l'équation

dU^ hl

dx^ ~ KS '

(1*011 l'on déduit par l'intégration

M et N étant les deux constantes.

Supposons qu'une portion de la circonférence de l'anneau, placée entre deux foyers consécutifs, soit divisée en parties égales; désignons par ç^^, ^2» ^'3» ^4» ••• l^s températures des points de division dont les distances à l'origine sont x^^ ^2, 0^3, x^^ .,.; la relation entre v et .r sera donnée par l'équation précédente, après que l'on aura déterminé les deux constantes au moyen des deux valeurs de v qui correspondent aux

foyers. Désignant par a la quantité e ^^^\, par \ la distance x^ — x^ de deux points de division consécutifs, on aura les équations

(', nu M «^ a't 4- N a~^ ar^x , (♦3 — M a'^ «*• -h N a-*^ «-'» ;

d'où l'on tire la relation suivante :

On trouverait un résultat semblable pour les trois points dont les températures sont (^2» ^3> ^4» et en général pour trois points consécutifs. Il suit de là que, si l'on observait les températures i^,, (^2. ^'j» ^4» ^5» • • • de plusieurs points successifs, tous placés entre les deux mêmes foyers m et/i et séparés par un intervalle constante, on reconnaîtrait que trois températures consécutives quelconques sont toujours telles que la somme de deux extrêmes, divisée par la moyenne, donne un quotient constant a^-f-a"^.