CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

On considérera le mouvement instantané de la chaleur dans une couche infiniment peu épaisse, terminée par les deux surfaces sphériques dont les rayons sont x et œ -hdjc : la quantité de chaleur qui, pendant un instant infiniment petit dt, traverse la moindre surface dont le rayon est x, et passe ainsi de la partie du solide qui est plus voisine du centre dans la couche sphérique, est égale au produit de quatre facteurs qui sont la conducibîlité K, la durée r//, l'étendue /|-r'-

de la surface, et le rapport j- pris avec un signe contraire; elle est exprimée par

Pour connaître la quantité de chaleur qui s'écoule pendant le même instant par la seconde surface de la même couche, et passe de cette couche dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut changer, dans l'expression précédente, x en x-\-dx, c'est-a-dire ajouter au terme

— /jK^iT* 7)"^'^ '^ différentiellede ce terme prise par rapport à x. On trouve ainsi

- 4K7:.r» ^ dt - /jKr -^ (jc' ^ ] dx dt, OJo ÔJc \ ox ]

pour l'expression de la quantité de chaleur qui sort de la couche sphérique en traversant sa seconde surface; et, si l'on retranche cette quantité de celle qui entre par la première surface, on aura

/i Ktû -r- ( r* ^— I dx dt, dx \ ox I

Cette différence est évidemment la quantité de chaleur qui s'accumule dans la couche intermédiaire, et dont l'effet est de faire varier sa température.

Le coefficient C désigne ce qu'il faut de chaleur pour élever de la température o à la température i un poids déterminé qui sert d'unilê;

D est le poids de l'unité de volume; l\r.x^ dx est le volume de la couche intermédiaire ou n'en diffère que d'une quantité qui doit être omise : donc l^r.ÇXix^dx est la quantité de chaleur nécessaire pour porter la tranche intermédiaire de la température o a la température I. Il faudra par conséquent diviser la quantité de chaleur qui s'accumule dans cette couche par 4^CDa?^ctr, et l'on trouvera l'accroissement de sa température 9 pendant l'instant di. On obtiendra ainsi l'équation

ou

L'équation précédente représente la loi du mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide; mais les températures des points de la surface sont encore assujetties à une condition particulière qu'il est nécessaire d'exprimer.

Cette condition relative à l'état de la surface peut varier selon la nature des questions que l'on traite; on pourrait supposer, par exemple, qu'après avoir échauffé la sphère et élevé toutes ses molécules à la température de l'eau bouillante, on opère le refroidissement en donnant à tous les points de la surface la température o et les retenant à cette température par une cause extérieure quelconque. Dans ce cas, on pourrait concevoir que la sphère dont on veut déterminer l'état variable est couverte d'une enveloppe, extrêmement peu épaisse, sur laquelle la cause du refroidissement exerce son action. On supposerait : i** que cette enveloppe infiniment mince est adhérente au solide, qu'elle est de la même substance que lui, et qu'elle en fait partie, comme les autres portions de la masse; 2® que toutes les molécules de l'enveloppe sont assujetties à la température o par une cause toujours agissante qui empêche que cette température puisse