CHAPITRE 11. — ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES

i^tre jamais au-dessus ou au-dessous de o. Pour exprimer cette même condition dans le calcul, on doit assujettir la fonction f^, qui contient ^ et /, à devenir nulle lorsqu'on donne à a? sa valeur totale X égale au rayon de la sphère, quelle que soit d'ailleurs la valeur de /• On aurait donc, dans cette hypothèse, en désignant par o{x,t) la fonction de aet / qui doit donner la valeur de ^, les deux équations

dt ~ Cl) \dx^ "^ œ dxy

de plus, il faut que l'état initial soit représenté par cette même fonction <p(^, t)\ on aura donc, pour seconde condition,

Ainsi l'état variable d'une sphère solide, dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera représenté par une fonction ^, qui doit satisfaire aux trois équations précédentes. La première est générale et convient à chaque instant à tous les points de la masse; la seconde affecte les seules molécules de la surface et la troisième n'appartient qu'à l'état initial.

Si le solide se refroidit dans l'air, la seconde équation est dillerente; il faut alors concevoir que l'enveloppe extrêmement mince est retenue, par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instant de la sphère une quantité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever- Or la quantité de chaleur qui, pendant la durée d'un instant intiniment petit dt^ s'écoule dans l'intérieur du solide, à travers la surface

sphérique placée à la distance Xy est égale à — ^K'kx- -j-dt; et cette

expression générale est applicable a toutes les valeurs de x. Ainsi, en y supposant a? = X, on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l'élat

variable de la sphère, passerait à travers l'enveloppe extrêmement mince qui la termine; d'un autre côté, la surface extérieure du solide ayant une température variable, que nous désignerons par V, laisserait échapper dans l'air une quantité de chaleur proportionnelle à cette température et à l'étendue de la surface, qui est 4"X*. Cette quantité a pour valeur 4/'^X^Vrf/.

Pour exprimer, comme on le suppose, que l'action de l'enveloppe remplace à chaque instant celle qui résulterait de la présence du milieu, il suffit d'égaler la quantité /^/iTzX^y dt à la valeur que

reçoit l'expression K — 4^X* -r-rf/, lorsqu'on donne à or sa valeur totale X; et Ton obtient par là l'équation à- = '— û^ ^*» <l^i ^^'^ avoir lieu lorsque dans les fonctions .- et r on met, au lieu de x, sa valeur X, re que l'on désignera en écrivant

11 faut donc que la valeur de —^ prise lorsque ^ = X, ait un rapport

constant — ^ avec la valeur de ('qui répond au même point. Ainsi l'on

supposera que la cause extérieure du refroidissement détermine toujours l'état de l'enveloppe extrêmement mince, en sorte que la valeur

de -r- qui résulte de cet état soit proportionnelle à la valeur de v correspondante à or = X, et que le rapport constant de ces deux quantités soit — jT • Cette condition étant remplie au moyen d'une cause toujours présente, qui s'oppose à ce que la valeur extrême de -r- soit autre que — 1^ r, l'action de l'enveloppe tiendra lieu de celle de l'air.

Il n'est point nécessaire de supposer que l'enveloppe extérieure soit extrêmement mince et l'on verra par la suite qu'elle pourrait avoir une épaisseur indéfinie. On considère ici cette épaisseur comme infi-