CHAPITRE IL - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La section faite perpendicuiairement à la longueur de la barre est un carré dont le côté est 2/; Taxe de la barre est Taxe des x et l'origine est à l'extrémité A. Les trois coordonnées rectangulaires d'un point de la barre sont a?, j^, z; la température fixe du même point est désignée par ^.

La question consiste à déterminer les températures que l'on doit donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de subsister sans aucun changement, tandis que la surface extrême A qui communique avec la source de chaleur demeure assujettie, dans tous ses points, à la température permanente A : ainsi v est une fonction de Xy de v et de z.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une molécule prismatique, comprise entre six plans perpendiculaires aux trois axes des Xy des j et des z. Les trois premiers plans passent par le point m dont les coordonnées sont x^y^ z, et les autres passent par le point m! dont les coordonnées sont x 4- dx^ y h- rfj, z h- dz.

Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre dans la molécule, à travers le premier plan passant par le point m et perpendiculaire aux a?, il faut considérer que la surface de la molécule qui est située sur ce plan a pour étendue dzdy, et que le flux qui traverse cette aire est égal, suivant le théorème de l'article 98,

à — K j-\ ainsi la molécule reçoit, à travers le rectangle dxdy passant par le point m, une quantité de chaleur exprimée par

Pour trouver la quantité de chaleur qui traverse la face opposée et sort de la molécule, il faut substituer, dans l'expression précédente, x-\-dx à X ou, ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa diffé-

100 THEORIE DE LA CHALEl R.

renlielle prise par rapport à x seulement; on en conclut que la niolérulo perd, par sa seconde face perpendiculaire aux *r, une quantité de chaleur équivalente à

— KdzdY^ — K dz dv -c- ( -r^ ) djci ' dx * à.r\ÔJcJ

on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la lace opposée; la différence de ces deux quantités est

Kdzdfdx-^;

elle exprime combien il s'accumule de chaleur dans la molécule, à raison de la propagation suivant le sens des x; et cette chaleur accumulée ferait varier la température de la molécule, si elle n'était point compensée par celle qui se perd dans un autre sens.

On trouve, de la même manière, qu'à travers le plan perpendiculaire aux y et passant par le point m, il entre dans la molécule une quantité de chaleur égale à

— K.dz dx -7— )

ÔY

et que la quantité qui sort par la face opposée est

— Kdzdjc- Kdz dx d^r- »

ôy ôy

cette dernière différentielle étant prise par rapport à y seulement. Donc la différence de ces deux quantités, ou

K dz dx dy -r— r >

exprime combien la molécule acquiert de chaleur, à raison de la propagation dans le sens des y.

Enfin on démontre de même que la molécule acquiert, à raison de la propagation dans le sens des ;;, une quantité de chaleur égale à

K dx dy dz -r^ •