CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Op, pour qu'elle ne change point de température, il est nécessaire qu'elle conserve autant de chaleur qu'elle en contenait d'abord, en sorle que ce qu'elle en acquiert dans un sens serve à compenser ce qu'elle en perd dans un autre. Donc la somme des trois quantités de chaleur acquises doit être nulle, et l'on forme ainsi l'équation
Il reste maintenant à exprimer les conditions relatives à la surface. Si l'on suppose que le point m appartient h l'une des faces de la barre prismatique et que cette face est perpendiculaire aux 2, on voit que le rectangle dxdy laisse échapper dans l'air, pendant l'unité de temps, une quantité de chaleur égale à
h dx dfV,
en désignant par V la température du point m à la surface, c'est-à-dire ce que devient la fonction cherchée 9(0:, j, s) lorsqu'on fait :; = /, demi-largeur du prisme. D'un autre côté, la quantité de chaleur qui, en vertu de l'action des molécules, traverse pendant l'unité de temps une surface infiniment petite (o, située dans l'intérieur du prisme perpendiculairement aux z^ est, d'après les théorèmes cités, égale ii
— Kw;p- Cette expression est générale et, en l'appliquant aux points
pour lesquels la coordonnée 5 a sa valeur complète /, on en conclut que la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdy^ placé à la superficie, est
— Kdx dy -T-y " dz
en donnant à z dans la fonction ^ sa valeur complète /. Donc les deux quantités ^^^dxdy-^z et hdxdyv doivent être égales, pour que l'action des molécules convienne avec celle du milieu. Cette égalité doit
aussi subsister si l'on donne à z dans les fonctions 3^ et (^ la valeur — /,
oz
ce qui a lieu pour la face opposée à celle que Ton considérait d'abord. De plus, la quantité de chaleur qui traverse une surface plane infiniment petite (o, perpendiculaire à Taxe des j, étant — Kco-r-;» il s'ensuit
que celle qui s'écoule à travers un rectangle dxdz, placé sur une face du prisme perpendiculaire aux j, est
— Kdxdz-^y ày
on donnant à y dans la fonction -^ sa valeur complète /. Or ce rectangle dxdz laisse échapper dans l'air une quantité de chaleur exprimée par
h dx dz V ;
il est donc nécessaire que l'on ait l'équation
/M' HZ— K 3-1
ày lorsqu'on fait y = /, ou y = — /, dans les fonctions r et -^-^ •
ày
La valeur de la fonction s^ doit être, par hypothèse, égale k A lorsqu'on suppose X = 0, quelles que soient les valeurs dey et de z. Ainsi la fonction cherchée s^ est déterminée par les conditions suivantes :
i^ Elle satisfait, pour toutes les valeurs de x, y, s, à l'équation générale
2^ Elle satisfait à l'équation
K ày '
