ÉQUATIONS DU MOUVEMENT VARIÉ DE LA CHALEUR DANS UN CUBE SOLIDK

Un solide de forme cubique dont tous les points ont acquis une même température est placé dans un courant uniforme d'air atmosphérique, entretenu à la température o. II s'agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.

Le centre du cube est pris pour origine des coordonnées rectangulaires; les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les faces sont les axes des a?, des j^ et des 5 ; 2/ est le côté du cube, s^ est la température à laquelle un point dont les coordonnées sont x, y^ z se trouve abaissé après le temps t qui s'est écoulé depuis le commencement du refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction r, qui contient x, j, :; et t.

Pour former l'équation générale à laquelle v doit satisfaire, on cherchera quel est le changement de température qu'une portion infiniment petite du solide doit éprouver pendant l'instant dt, en vertu de l'action des molécules qui en sont extrêmement voisines. On considérera doncune molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires; les trois premiers passent par le point m dont les coordonnées sont x, y.

lOV THEORIE DE LA CHALEUR.

z, et les trois autres par le point m! dont les coordonnées sont x -\- dx^ y -h r/y, z 4- dz,

La quantité de chaleur qui pénètre pendant Tinstant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dydz perpendiculaire aux x^ est

— Kdf.dz — dt,

et celle qui sort dans le même temps de la molécule, par la face opposée, se trouve en mettant x 4- dx au lieu de x dans l'expression précédente; elle est

{^f (Je

— K dy dz — dt — Kdy dzd ^ dt,

cette différentielle étant prise par rapport à x seulement. La quantité de chaleur qui entre pendant l'instant dt dans la molécule, à travers le premier rectangle dxdz perpendiculaire à Taxe des j, est

— - K dx dz -r— dt, ov

et celle qui sort de la molécule, dans le même instant, par la face opposée, est

— K djc dz -T- dt — K dœ dz d-^-dt,

a y or

h\ différentielle étant prise par rapport à y seulement. La quantité de chaleur que la molécule reçoit pendant l'instant dt, par sa face inférieure perpendiculaire a l'axe des z, est

— K d.v dy -^ dt

' dz

et celle qu'elle perd par la face opposée est

— l^dx dy -j^dt — Kdxdyd— dt,

uz (Jz

la différentielle étant prise par rapport à z seulement.

Il faut maintenant retrancher la somme de toutes les quantités de