CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

chaleur qui sortent de la molécule de la somme des quantités qu*ello reçoit, et la différence est ce qui détermine son accroissement de température pendant un instant : cette différence est

Kdydzd^r-'dt-^Kclxdzd-r-dt-hKdxdyd-^dt ôjc dy ^ dz

ou

Kdrdydz(^^^^-^,-^-^Jdt.

Si Ton divise la quantité que l'on vient de trouver par celle qui esl nécessaire pour élever la molécule de la température o à la température I, on connaîtra l'accroissement de température qui s'opërc pendant l'instant dt. Or cette dernière quantité est CD dxdydz; car C désigne la capacité de chaleur de la substance, D sa densité et dœdydz le volume de la molécule. On a donc, pour exprimer le mouvement dr la chaleur dans l'intérieur du solide, l'équation

^^ dt "" CD V<?a?* "^ dy^ "^ dz^y

Il reste à former les équations qui se rapportent à l'état de la surface, ce qui ne présente aucune difficulté d'après les principes que nous avons établis. En effet, la quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant dt, le rectangle dxdy tracé sur un plan perpendiculaire aux or, est

— Kdydz-j- dt.

Ce résultat, qui s'applique à tous les points du solide, doit avoir lieu

aussi lorsque la valeur de x est égale à /, demi-épaisseur du prisme.

Dans ce dernier cas, le rectangle dydz étant placé à la superficie, la

quantité de chaleur qui le traverse et se dissipe dans l'air pendant F. i4

rinstant dt est exprimée par

h dy dz vdt;

on doit donc avoir, lorsque ^ = /, Téquation

dr

hv = -K

djc

(]ette condition doit aussi être satisfaite lorsque jc = — /.

On trouvera de même que, la quantité de chaleur qui traverse le rectangle dxdz situé sur un plan perpendiculaire k Taxe des y étant

en général .

— K dx dz -r- >

et celle qui à la superficie s'échappe dans l'air à travers ce même rectangle étant

h dx dz V dty

il est nécessaire que l'on ait l'équation

At' 4- K ^- = G,

lorsquey = /ou = — /. Enfin on obtient pareillement l'équation déterminée

hç -h K -T- =0, oz

qui doit être satisfaite lorsque s = / ou = — /.

La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide de forme cubique, doit donc être déterminée par les conditions suivantes :

I® Elle satisfait à l'équation générale

ôt "^ C D \dx* ^'dy^^ dz'')'