CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1^ Elle satisfait aux trois équations déterminées

/H' 4- K rr— == o> ^t' -h K -T- i=z o, /ip H- K ,,- =io,

ax à y dz

qui ont lieu lorsque a7 = =h/, y = ±1, z = =t l;

3** Si, dans la fonction v qui contient ^, y, z, t, on fait / = o, quelles que soient les valeurs de x, y et z, on doit avoir, selon l'hypothèse,

qui est la valeur initiale et commune de la température.

L'équation à laquelle on est parvenu dans la question précédente représente le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de tous les solides. Quelle que soit en effet la forme du corps, il est manifeste qu'en le décomposant en molécules prismatiques on obtiendra ce même résultat. On pourrait donc se borner à démontrer ainsi l'équation de la propagation de la chaleur. Mais, afin de rendre plus complète l'exposition des principes, et pour que l'on trouve rassemblés dans un petit nombre d'articles consécutifs les théorèmes qui servent à établir l'équation générale de la propagation dans l'intérieur des solides et celle qui se rapporte à l'état de la surface, nous procéderons, dans les deux Sections suivantes, a la recherche de ces équations, indépendamment de toute question particulière et sans recourir aux propositions élémentaires que nous avons expliquées dans l'Introduction.

SECTION VI

ÉQUATION GÉNÉRALE DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS L'iNTÉRIëUR DES SOLIDES.

Théorème I. — Si les différents points d'une masse solide homogène, comprise entre six plans rectangulaires, ont des températures actuelles

déterminées par l'équation linéaire

(a) {' =^ k — ax — by — cz

et si les molécules placées à la surface extérieure sur les six plans qui terminent le prisme sont retenues par une cause quelconque à la température exprimée par l'équation (a), toutes les molécules situées dans l'intérieur de la masse conserveront d'eUes-mêmes leur température actuelle, en sorte quil ne surviendra aucun changement dans l'état du prisme, (ç' désigne la température actuelle du point dont les coordonnées sont â?, y, z; A, a, 6, c sont des coefficients constants.)

Pour démontrer cette proposition» considérons dans le solide trois points quelconques m. M, [x, placés sur une même droite m(x que le point M divise en deux parties égales; désignons par x, y, z les coordonnées du point m et par v sa température, par o^-f-a, j-h^, z -hy les coordonnées du point (x et par iv sa température, par ^ — a, y — ^, :? — Y les coordonnées du point m et par u sa température; on aura

i' = A — ax — by — cz^

d'où l'on conclut

i' — tv=: aa -h 6(3 4- cj/ et u — i^ = «a -h 6^ -+- cy.

Donc

V — IIP = f/ — i\

Or la quantité de chaleur qu'un point reçoit d'un autre dépend de la distance des deux points et de la différence de leurs températures. Donc l'action du point M sur le point (x est égale à l'action de m sur M ; ainsi le point M reçoit autant de chaleur de m qu'il en envoie au point [X.

On tirera la même conséquence quelles que soient la direction et la grandeur de la ligne qui passerait par le point M, et que ce point diviserait en deux parties égales. Donc il est impossible que ce point