CHAPITRE IL- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

le rapport de i 'à g, les différences des températures des deux points quelconques m et (x sont augmentées dans le même rapport. Donc, suivant le principe de la communication de la chaleur, il faut, pour connaître la quantité de chaleur que m envoie à pi dans la seconde hypothèse, multiplier par g la quantité que ce point m envoyait à (x dans la première. Il en serait de même de deux autres points quelconques. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan M résulte de la somme de toutes les actions que les points m, m\ m", m!\ . . . situés d'un même côté du plan exercent sur les points (jl, pi', pi", (x'', ... situés de l'autre côté. Donc, si dans la première hypothèse le flux constant est désigné par K, il sera égal à g^K lorsqu'on aura multiplié toutes les températures par g.

Théorème II.

Dans un prisme dont les températures constantes sont exprimées par

r équation

r = A — ax — by — cz,

et que terminent six plans rectangulaires dont tous les points sont entretenus aux températures déterminées par l'équation précédente , la quantité de chaleur qui i pendant l'unité de temps, traverse l'unité de surface y prise sur un plan intermédiaire quelconque perpendiculaire aux z, est la même que le flux constant dans un solide de même substance, qui serait compris entre deux plans parallèles infinis, et pour lequel C équation des températures constantes serait

{>=^C — cz.

Pour le démontrer, considérons, dans le prisme et ensuite dans le solide infini, deux points m et [^ extrêmement voisins et séparés par le plan M perpendiculaire à l'axe des z, (x étant au-dessus du plan et m au-dessous {flg. /j); choisissons au-dessous du même plan un point m' tel que la perpendiculaire abaissée du point jx sur le plan soit aussi perpendiculaire sur le milieu h de la distance mm\ Désignons para-,

r, z + h les coordonnées du point (x dont la température est tv, par ,r — a, j^ — p, z les coordonnées de m dont la température est v, ot par a: -h a, y -t- p, 5 les coordonnées de m! dont la température est r'.

Flç. 4.

L'action de m sur [jl ou la quantité de chaleur que m envoie à (i. pendant un certain temps peut être exprimée par q[{f — w). Le facteur q dépend de la distance /n(x et de la nature de la masse. L'action de m' sur (x sera donc exprimée par q[^' — w^); et le facteur q est le même que dans Texpression précédente; donc la somme des deux actions de m sur [x et de rnf sur [jl, ou la quantité de chaleur que (x reçoit de m et de m\ est exprimée par

Or, si les points m, [l, m' appartiennent au prisme, on a

tr ==: A — ajc — ùy — c{z -\- h),

V = A — a{a: — a) — b{y — j3) — cz,

i'' = A — a(a7 -ha) — ^(j-h j3) — cg;

et si ces mêmes points appartenaient au solide infini, on aurait, par hypothèse,

fVziz c — c{z -+- h)y