CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

(le chaleur que [/. reçoit de m et de m' dans la première hypothèse, lorsque Téquation des températures constantes est

t' = A — ax — bv — cz,

équivaut à la quantité de chaleur que [/. reçoit de m et de m\ lorsque l'équation des températures constantes est

On tirerait la même conséquence par rapport à trois autres points quelconques m', [jl', m", pourvu que le second ]s! fut placé à égale distance des deux autres et que la hauteur du triangle isoscèle m'\)Jm!' fût parallèle aux z. Or la quantité de chaleur qui traverse un plan quelconque M résulte de la somme des actions que tous les points m, m^m!\ nT^ ... situés d'un côté de ce plan exercent sur tous les points [x, jjl', jjl", [jl"', . . . situés de l'autre côté : donc le flux constant qui, pendant l'unité de temps, traverse une partie déterminée du plan M dans lo solide infmi est égale à la quantité de chaleur qui s'écoule dans le même tempis à travers la même portion du plan M dans le prisme dont les températures sont exprimées par l'équation

r = A — ax — hy — cz.

Corollaire.

Le flux a pour valeur cK dans le solide inflni, lorsque la partie du plan qu'il traverse est l'unité de surface. lia donc aussi dans le prisme

la même valeur cK o/^ — K -r- •

ôz

On prouve de la même manière que le flux constant qui a lieu, pendant l'unité de temps, dans le même prisme à travers V unité de surface

sur un plan quelconque perpendiculaire aux y est égal à bK ou — ^"ÂZ'y

et que celui qui traverse le plan perpendiculaire aux x a pour valeur a K

,^ ôv ou — K 3- •

ox

lit THÉORIE DE LA CHALEUR.

Les propositions que l'on a démontrées dans les articles précédents s'appliquent aussi au cas où l'action instantanée d'une molécule s'exercerait dans l'intérieur de la masse, jusqu'à une distance appréciable. Il faut, dans ce cas, supposer que la cause qui retient les tranches extérieures des corps dans l'état exprimé par l'équation linéaire affecte la masse jusqu'à une profondeur finie. Toutes les observations concourent à prouver que, dans les solides et les liquides, la distance dont il s'agit est extrêmement petite.

Théorème III.

Si les températures des points d'un solide sont exprimées par l'équation

dans laquelle x, y^ z sont les coordonnées de la molécule dont la température est égale à v après le temps écoulé t, le flux de chaleur qui traverse une partie d'un plan tracé dans le solide, et perpendiculaire à l'un des trois axes, n'est plus constant; sa valeur est différente pour les différentes parties du plan, et elle varie aussi avec le temps. Cette quantité variable peut être déterminée par le calcul.

Soit co un cercle infiniment petit dont le centre coïncide avec le point m du solide et dont le plan soit perpendiculaire à la coordonnée verticale z\ il s'écoulera, pendant l'instant^/, à travers ce cercle, une certaine quantité de chaleur qui passera de la partie du solide inférieure au plan du cercle dans la partie supérieure. Ce flux se compose de tous les rayons de chaleur qui partent d'un point inférieur et parviennent à un point supérieur, en traversant un point de la petite surface (o. Nous allons démontrer que la vakur du flux a pour expression

oz Désignons par x\ y\ z' les coordonnées du point m dont la tempéra-