CHAPITRE IL — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

ture est ^'; et supposons que Ton rapporte toutes les autres molécules à ce point m choisi pour l'origine de trois nouveaux axes parallèles aux précédents; soient Ç, y), X, les trois coordonnées d'un point rapporté à l'origine m\ on aura, pour exprimer la température actuelle w d'une molécule infiniment voisine de m, l'équation linéaire

Les coefficients i^\ -.— > -y- y ^ sont les valeurs que l'on trouve en sub-

dr dv az ^

stituant dans les fonctions f^, ^> -r-y ^> aux variables x, y, z, les

quantités constantes x\ y\ z' qui mesurent les distances du point m aux trois premiers axes des x, des y, des z.

Supposons maintenant que le même point m soit aussi une molécule intérieure d'un prisme rectangulaire compris entre six plans perpendiculaires aux trois axes dont m est l'origine; que la température actuelle w de chaque molécule de ce prisme, dont les dimensions sont finies, soit exprimée par l'équation linéaire w = A -ha^-hbri-hct, et que les six faces qui terminent le prisme soient retenues aux températures fixes que cette dernière équation leur assigne. L'état des molécules intérieures sera aussi permanent et il s'écoulera, pendant l'instant dt, à travers le cercle (o, une quantité de chaleur que mesure l'expression — Kc(i)dt.

Cela posé, si l'on prend pour les valeurs des constantes A, a, b, r,

les quantités r, ^' x"» tst» 1 ^^^^ "^^ du prisme sera exprime par l'équation

Ainsi les molécules infiniment voisines du point m auront, pendant l'instant dt^ la même température actuelle dans le solide dont l'état est variable, et dans le prisme dont l'état est constant. Donc le flux qui a lieu au point m pendant l'instant di, à travers le cercle infi-

niment petit o), est le même dans l'un et l'autre solide : donc il est exprime par — K -p o) rf/.

On en conclut la proposition suivante :

Si dans un solide dont les températures intérieures varient avec le temps , en i^ertu de l* action des molécules, on trace une ligne droite quelconque et que l'on élevé [fig* 5), aux différents points de cette ligne, les ordon-

Fig. 5.

nées pm d'une courbe plane égales aux températures de ces points prises au même instant, le flux de chaleur, en chaque point p de la droite, sera oroportionnel à la tangente de V angle ol que fait l'élément de la courbe avec la parallèle aux abscisses; c'est-à-dire que, si Ton plaçait au point/? le centre d'un cercle infiniment petit (o perpendiculaire k la ligne, la quantité de chaleur écoulée pendant un instant dt^ à travers ce cercle, dans le sens suivant lequel les abscisses Op croissent, aurait pour mesure le produit de quatre facteurs qui sont la tangente de l'angle a, un coefficient constant K, l'aire co du cercle et la durée dt de l'instant*

Corollaire.

Si l'on représente par e l'abscisse de cette courbe ou la distance d'un point/) de la droite à un point fixe 0, et par v l'ordonnée qui représente la température du point/?, v variera avec la distance £ et sera une certaine fonction/(£) de cette distance; la quantité de cha-