CHAPITRE II.— ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

leur qui s'écoulerait à travers le cercle w, placé au point/? perpendiculairement à la ligne, sera

dv

— K-7-wc^/ ou —K/'{£)(M>dt,

en désignant par /"(e) la fonction , -

Nous donnerons à ce résultat l'expression suivante, qui facilite les applications :

Pour connaître le fUix ax^tuel de la chaleur en un point p d'une droite tracée dans un solide dont les températures varient par V action des molerides, il faut diviser la différence des températures de deux points infiniment voisins du point p par la distance de ces points. Le flux est proportionnel au quotient (' ).

\^^) Plus exactement il est égal à ce quotient multiplié par — Kw^/, K désignant toujours le coefficient de conductibilité et &> la surface de Télément normal à la droite.

En déduisant les conséquences de cette règle, Fourier aurait pu simplifier son exposition et éviter quelques incertitudes que nous signalerons plus loin.

Supposons, en effet, que l'on se propose de trouver le flux de chaleur qui s'écoule à travers un élément «>> dont la normale prise dans un sens déterminé fait avec les axes coordonnés les angles a, p, y. Soient x, r, z les coordonnées d'un point do l'élément; si nous nous déplaçons suivant la normale en parcourant une longueur infiniment petite ^.r, nous aurons évidemment, pour les différentielles de x^ r, z^ les valeurs

(Le = ds cos z, dr = ds cos p, dz = ds cosy

et, par conséquent,

dv = rr dv -h -r- dy -h rr dz =: dv l - cosa -f- -— cos [5 -f- -r- cosy J . dx df ^ àz \ùx Oj ' dz '/

Le flux de chaleur étant, d après la règle de Fourier,

— K<a~rdi d^

aura donc pour expression

— Kw rt/ ( — cos X -H T- cosp H- -r- cosy I .

Si Ton introduit la notion, aujourd'hui bien répandue, de la dérivée d'une fonction de point relative à une direction donnée, la règle de Fourier s'énonce ainsi :

Le flux de chaleur est égal et de signe contraire aa produit de Ko) dt par la dérivée de la température par rapport à la normale à l'élément, à l'instant considéré, G. D.

Théorème IV.

Il est facile de déduire des théorèmes précédents les équations générales de la propagation de la chaleur.

Supposons que les différents points d'un solide homogène d^ une forme quelconque aient reçu des températures initiales qui varient successivement par V effet de V action mutuelle des molécules et que l'équation

représente les états successifs du solide, on va démontrer que la fonction r de quatre variables satisfait nécessairement à l'équation

Kn effet, considérons le mouvement de la chaleur dans une molécule comprise entre six plans perpendiculaires aux axes des a?, des y et des :;; les trois premiers de ces plans passent par le point m dont les coordonnées sont a:, j, s et les trois autres passent par le point m' dont les coordonnées sont a? h- da:, y -h dy, z -+- dz.

La molécule reçoit pendant l'instant <//, a travers le rectangle inférieur dxdy qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à

— K d.r dy-r-dt.

•^ dz

Pour connaître la quantité qui sort de la molécule par la face opposée, il suffit de changer dans l'expression précédente z en z-^dz^ c'està-dire d'ajouter à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à z seulement; on aura donc

— K dx df -^dt — K dx dy -y- ( -^j dz dt

pour la valeur de la quantité qui sort a travers le rectangle supérieur.