CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La même molécule reçoit encore, à travers le premier rectangle dxdz qui passe par le point m^ une quantité de chaleur égale à

— K-~dx dzdl:

ÔY

et, si l'on ajoute à celte expression sa propre différentielle prise par rapport à j seulement, on trouve que la quantité qui sort à travers la face opposée dxdz a pour expression

- K -^dx dzdt ^k4-(^\ dydxdz dt,

ày ày\dyj '^

Enfin celle molécule reçoit, par le premier rectangle dydz^ une quantité de chaleur égale à

wr àv , , ,

et ce qu'elle perd à travers le rectangle opposé qui passe par m a pour expression

— K -^ dy dz dt — K -r— ( -r— J dx dy dz dt.

Il faut maintenant prendre la somme des quantités de chaleur quc^ la molécule reçoit et en retrancher la somme de celles qu'elle perd. On voit par là qu'il s'accumule, durant l'instant dt^ dans l'intérieur de cette molécule, une quantité totale de chaleur égale à

Il ne s'agit plus que de connaître quel est raccroissement de température qui doit résulter de celte addition de chaleur.

D étant la densité du solide ou le poids de l'unité de volume, et C la [capacité spécifique ou la quantité de chaleur qui élève l'unité de poids de la température o a la température i, le produit CDdxdydz exprime, combien il faut de chaleur pour élever de o k i la molécule lont le volume est dxdydz. Donc, en divisant par ce produit la nou-

velle quantité de chaleur que la molécule vient d'acquérir, on aura son accroissement de température. On obtient ainsi l'équation générale

^ ' ât ~ Cl) \djc^ "^ dy' "^ dz^

qui est celle de la propagation de la chaleur dans Tintérieur de tous les corps solides (*).

Indépendamment de cette équation, le système des températures est souvent assujetti à plusieurs conditions déterminées, dont on ne peut donner une expression générale, puisqu'elles dépendent de Tespèce de la question.

Si la masse dans laquelle la chaleur se propage a des dimensions finies et si la superficie est retenue par une cause spéciale dans un état donné; par exemple, si tous ses points conservent, en vertu de cette cause, la température constante o, on aura, en désignant la fonction inconnue ^ par ^{x,y, z,t), l'équation de condition

il est nécessaire qu'elle soit satisfaite pour toutes les valeurs de x^y, z qui appartiennent aux points de la surface extérieure et pour une valeur quelconque de t.

De plus, si l'on suppose que les températures initiales du corps sont exprimées par la fonction connue F(.r, j, z), on a aussi l'équation

la condition exprimée par cette équation doit être remplie pour les

(^) Il y a ici une remarque à présenter. Les raisonnemenls par lesquels Fourier a éubli son équation supposent tacitement que le corps solide jouit de propriétés que nous exprimons aujourd'hui en disant que le corps est isotrope, au reste, c'est on suivant 6^ méthode que ses successeurs Duhamel et Lamé ont trouvé les équutions différentielles de la propagation de la chaleur dans les milieux cristallisés. G. D.