CHAPITRE II.- ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
et le flux perpendiculaire à cette face est aussi — K^> en supprimant
les termes du second ordre, infiniment plus petits que ceux du premier; on retranchera la quantité de chaleur qui sort par cette seconde face de celle qui entre par la première, et Ton trouvera
K 3— 3- é/a? dy, OJc ax
Ce terme exprime combien la molécule reçoit de chaleur par les faces perpendiculaires aux x.
On trouvera par un calcul semblable que la même molécule reçoit par les faces perpendiculaires aux y une quantité de chaleur égale a
dv àz K 3- 3- ajc dy,
dy à y ^
La quantité de chaleur que la molécule reçoit par la base rectangulaire est
— K-T-dx dy.
dz
Enfin elle laisse échapper dans l'air, à travers la surface supérieure a'b'cd\ une certaine quantité de chaleur égale au produit de hv par l'étendue o) de cette surface. La vajeur de a> est, selon les
principes connus, celle de doody multipliée par le rapport -; i désigne
la longueur de la normale, depuis la surface extérieure jusqu'au plan des xy^ et l'on a
donc la molécule perd à travers sa surface alh'cd une quantité de chaleur égale à
hv dxdy -'
Or les termes du premier ordre qui entrent dans l'expression de la quantité totale de chaleur acquise par la molécule doivent se détruire, F. 17
pour que la variation des températures ne soit pas à chaque instant une quantité finie ; on doit donc avoir l'équation ( * )
V àv dz , , V à^f âz , , V ai' , j i £ j j K ^ — ^r- ax ay -f- K -- — ^-dx dy — K -r-dxdy — /w - dx dy = o dx dx ^ df ày '^^ dz -^ z -^
OU
h t dv as ôv âz dv
K z dx dx dy dy dz
En mettant pour j- ^^ -r- leurs valeurs tirées de Téquation
m dx -{- n dy -h p dz z=z o
(*) Ici encore il y a défaut de précision dans l'établissement de l'équation à la surface. La méthode suivie par Fourier suppose, ce qui peut fort bien ne pas arriver, que le solide dont il considère toutes les faces soit placé à l'intérieur du corps.
Au reste, on obtient immédiatement celte équation si l'on évalue, d*après la règle donnée dans une Note précédente (p. 117), le flux de chaleur qui passe à travers un élément infiniment petit (u de la surface ; %, p, 7 désignant les angles que fait avec les axes la normale extffrieure au corps, le flux a pour expression
- K w rt/ ( ^- cos a -+- -r- cos P ^- t: C0S7 \ .
v- cos a -+- -râx dy
Comme il doit être égal à /«(^((^ — ^), Ç désignant la température extérieure au contact de l'élément, on a
(B ) K ( — COSa -+- ^COS? -h ^ COS7J -h /i{v- K) = o.
En faisant Ç = o et en remplaçant les cosinus par leurs valeurs déduites des équations
cosît cos^ C0S7 r+: I
m II
on retrouve Téquation (B), mais avec un signe parfaitement déterminé pour le radical q. L'équation (B'), donnée plus haut, peut encore s'écrire
•T^ désignant la dérivée do v suivant la normale à la surface, intérieure au corps.
