APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
Désignons par rie rayon variable d'une enveloppe cylindrique quelconque et supposons, comme précédemment dans l'article 118, que toutes les molécules également éloignées de l'axe ont à chaque instant une température commune; ^ sera une fonction de r et /; r est une fonction de y, s, donnée par l'équation r^= z^-hy^. Il est évident en premier lieu que la variation de ç" par rapport à x est nulle; ainsi le
terme j-^ doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du
Calcul différentiel, les équations
di' âv âr d^v d^ v /^/'V àv d^r
âz~~âidz' d^ ~dr^\ôz) '^drdz^'
âi^ ^i' dr d^ç d^v /dr\^ dv d^r
donc
dr dr dy âf^ âr- \dyj dr dy**
^^^ âz* "^ ày* ~ âr^ l\dz) "^ \dyj J "^ dr\dz^ "^ ày^ )
Il faut remplacer dans le second membre les quantités
âr dr d^r d*/ dz^ dy^ dz* dy^
CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 133 par leurs valeurs respectives; pour cela, on tirera de l'équation
dr /dry- d^r
dr /dry- fPr
et, par conséquent,
d^r d^r ■ dY
/dry /dry fd^r
la première équat'ton» dont le premier membre est égal à r*, donne
/ dr\^ / dr\^
la seconde donne, lorsqu'on met pour (■^) '^\~â~) sa valeur i ,
Si maintenant on substitue dans l'équation (a) les valeurs données par les équations [b) et (c), on aura
dz^ dy- dr* r dr'
donc l'équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre est
U " CD\dr^ ^ r dr
de
comme on l'a trouvé précédemment (art. H9).
On pourrait aussi ne point supposer que les molécules également éloignées de l'axe ont reçu une température initiale commune; dans ce cas on parviendrait à une équation beaucoup plus générale.
Pour déterminer, au moyen de Téquation (A), le mouvement de la chaleur dans une sphère qui a été plongée dans un liquide, on regardera V comme une fonction de r et /; r est une fonction de x, y, z donnée par l'équation
r étant le rayon variable d'une enveloppe. On aura ensuite
dx dr dx âx^ âr* \àxj dr dx^ dv dv dr d*i' d^v f dr\^ dv d*r
d/ dr dy dy^ dr^ \àf J dr df*
di' di> dr d^ v d^v / dr \ * dv d- r
dz^'d/dz' àz^ '"àr^ \d^ ) '^ dr dz^
En faisant les substitutions dans l'équation générale
àv K^/d^ d^^ dUy\ de ^ C\) \dx^ "^ dj^ "^ dz^J
on aura
^^ dt "" C D I dr' l\dxj ^ \dfj \dzj }^ dr \dx^ ^ dy* dz* )
L'équation x^ -^y^ -h s* == r* fournit les résultats suivants :
dr^ (àr\ ,à^
dx \àx / dx*
dr /dry d'r
dr /dry d*r
Les trois équations du premier ordre donnent
■=(IM|v^^f^'
