CHAPITRE 11. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Le nombre C, qui entre dans le calcul, est toujours multiplié par la densité D, c'est-à-dire par le nombre d'unités de poids qui équivalent au poids de l'unité de volume; ainsi ce produit CD peut être remplacé par le coefficient c. Dans ce cas, on doit entendre, par capacité spécifique de chaleur, la quantité nécessaire pour élever de la température o à la température i l'unité de volume d'une substance donnée et non l'unité de poids de cette substance. C'est pour ne pas s'éloigner des définitions communes que l'on a rapporté dans cet Ouvrage la capacité de chaleur au poids et non au volume; mais il serait préférable d'employer le coefficient c, tel que nous venons de le définir; alors il n'entrera dans les expressions analytiques aucune grandeur mesurée par l'unité de poids; on aura seulement à considérer :

I® La dimension linéaire x, la température {^ et le temps /;

2^ Les coefficients c, h et K.

Les trois premières quantités sonl des indéterminées, et les trois autres sont, pour chaque substance, des éléments constants que l'expérience fait connaître. Quant à l'unité de surface et à l'unité de volume, elles n'ont rien d'absolu et dépendent de l'unité de longueur.

Il faut maintenant remarquer que chaque grandeur indéterminée ou constante a une dimension qui lui est propre et que les termes d'une même équation ne pourraient pas être comparés, s'ils n'avaient point le même exposant de dimension. Nous avons introduit cette considération dans la Théorie de la chaleur pour rendre nos définitions plus fixes et servir à vérifier le calcul; elle dérive des notions primordiales sur les quantités : c'est pour cette raison que, dans la Géométrie et dans la Mécanique, elle équivaut aux lemmes fondamentaux que les Grecs nous

ont laissés sans démonstration.

Dans la théorie analytique de la chaleur, toute équation (E) exprime une relation nécessaire entre des grandeurs subsistantes x, /, r,c, A, K. Cette relation ne dépend point du choix de Tunité de longueur, qui de sa nature est contingent; c'est-à-dire que, si l'on prenait une unité différente pour mesurer les dimensions linéaires, l'équation (E) serait encore la même. Supposons donc que l'unité de longueur soit changée et que sa seconde valeur soit équivalente a la première divisée par m. Une quantité quelconque x qui, dans l'équation (E), représente une certaine ligne ab et qui, par conséquent, désigne un certain nombre de fois l'unité de longueur, deviendra mx, afin de correspondre à la* même grandeur ab; la valeur t du temps et la valeur ç de la température ne seront point changées; il n'en sera pas de même des éléments

spécifiques h, K, c : le premier h deviendra -^; car il exprime la quan-

tité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface à la température i. Si l'on examine avec attention la nature du coefficient K, tel que nous l'avons défini dans les articles 68 et 135, on

reconnaîtra qu'il devient — ; car le flux de chaleur est en raison

directe de l'étendue de la surface et en raison inverse de la distance des deux plans infinis (art. 72). Quant au coefficient c qui représente

le produit CD, il dépend aussi de l'unité de longueur et devient—^;

donc l'équation (E) ne doit subir aucun changement si l'on écrit, au

lieu de x, mxy et en même temps —>—;>—, au lieu de K, A, c; le

nombre m disparaîtra de lui-même après ces substitutions : ainsi la dimension de x par rapport à l'unité de longueur est i ; celle de K est — I, celle de h est — 2, et celle de c est — 3. Si l'on attribue à chaque (|uantité son exposant de dimension, l'équation sera homogène, parce que chaque terme aura le même exposant total. Les nombres tels que s, qui représenteraient des surfaces ou des solides, ont la dimension 2