CHAPITRE II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

dans le premier cas, et la dimension 3 dans le second. Les angles, les sinus et autres fonctions trigonométriques, les logarithmes ou exposants de puissance sont, d'après les principes du calcul, des nombres absolus qui ne changent point avec l'unité de longueur; on doit donc trouver leur dimension égale a o, qui est celle de tous les nombres abstraits.

Si l'unité de temps, qui était d'abord i, devient-» le nombre / sera

nt et les nombres x et 9 ne changeront point. Les coefficients K, A, c

seront — , -, c. Ainsi, les dimensions de a?, /, v^ par rapport à l'unité

de temps, sont o, i , o et celles de K, A, c sont — 1 , —1,0.

Si l'unité de température était changée, en sorte que la température I devînt celle qui répond à un autre effet que l'ébuUition de l'eau, et si cet effet exigeait une température moindre, qui fût k celle de l'eau bouillante dans le rapport de j au nombre/?, r deviendrait vp,

X et t conserveraient leurs valeurs et les coefficients K, A, c seraient

P P P Le Tableau suivant représente les dimensions des trois indétermi^

nées et des trois constantes, par rapport à chaque sorte d'unité :

Longueur. Durée. Température.

Exposant de dimension de jt. f o o .

La conducibililé spécifique K — i — i — ï

La conducibilité de la surface // — 1 — i — i

La capacité de chaleur c —3 o — 1

Si l'on conservait les coefficients C et D dont le produit a été représenté par c, on aurait encore à considérer l'unité de poids et l'on trouverait que l'exposant de dimension, par rapport à l'unité de longueur, est — - 3 pour la densité D et o pour C.

En appliquant la règle précédente aux différentes équations et a leurs transformées, on trouvera qu'elles sont homogènes par rapport à

chaque sorte d'unité et que la dimension de toute quantité angulaiiv ou exponentielle est nulle. Si cela n'avait point lieu, on aurait commis ((uelque erreur dans le calcul ou l'on y aurait introduit des expressions abrégées.

Si l'on choisit, par exemple, l'équation (A) de l'article 105

i)v__ K dU;^ /il

on trouve que, par rapport à l'unité de longueur, la dimension de chacun des trois termes est o, qu'elle est i pour l'unité de températures et — I pour l'unité de temps.

Dans l'équation r = A^ 'de l'article 76, la dimension linéaire de chaque terme est o, et Ton voit que celle de l'exposant ^^y ir-i ^^^

toujours nulle, soit pour l'unité linéaire, soit pour la durée ou la teni^ pé rature.