CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. U

certains de découvrir les lois des phénomènes naturels, et nous voyons, par riiisloire des Sciences, que toutes les théories se sont formées suivant cette méthode.

Pour exprimer plus brièvement la même question, on suppose qu'une lame rectangulaire BAC, d'une longueur infinie, est échauffée par son extrémité A et conserve dans tous les points de cette base une température constante i, tandis que chacune des deux arêtes infinies B et C, perpendiculaires à la première, est aussi assujettie dans tous ses points à une température constante o; il s'agit de déterminer quelles doivent être les températures stationnaires de chaque point de la lame.

On suppose qu'il ne se fait à la superficie aucune déperdition de chaleur ou, ce qui est la même chose, on considère un solide formé par la superposition d'une infinité de lames pareilles à la précédente; on prend pour l'axe des x la droite ox qui partage la lame en deux moitiés, et les coordonnées de chaque point m sont x et j; enfin on représente la largeur A de la lame par 2I ou, pour abréger le calcul, par 7:, valeur de la demi-circonférence.

Concevons qu'un point m de la lame solide BAC, qui a pour coordonnées X et j, ait la température actuelle ç^, et que les quantités v qui répondent aux différents points soient telles qu'il ne puisse survenir aucun changement dans les températures, pourvu que celle de chaque point de la base A soit toujours 1 , et que les côtés B et C conservent dans tous leurs points la température o.

Si l'on élevait en chaque point /w une coordonnée verticale égale à la température v, on formerait une surface courbe qui s'étendrait audessus de la lame et se prolongerait à l'infini. Nous chercherons à connaître la nature de cette surface, qui passe par une ligne parallèle élevée au-dessus de l'axe des y à une distance égale à l'unité, et qui coupe le plan horizontal suivant les deux arêtes infinies parallèles aux X.

Ui THÉORIE DE LA CHALEUR.

Pour appliquer l'équalion générale

dv K fdU^ d'v dU^

on considérera que, dans le cas dont il s*agit, on fail abstraction d'une coordonnée :;, en sorte que le terme ^ doit être omis; quant au premier membre ^> il s'évanouit puisqu'on veut déterminer les températures stationnaires; ainsi l'équation qui convient à la question actuelle •et détermine les propriétés de la surface courbe cherchée est celle-ci

La fonction 9('3?,y) de x et v, qui représente l'état permanent du solide BAC, doit :

i^ Satisfaire à l'équation (a);

2" Devenir nulle lorsqu'on substitue — - ou -f- - au lieu de v,

quelle que soit d'ailleurs la valeur de x;

3" Etre égale k l'unité, si l'on suppose a: = o et si l'on attribue à v

une valeur quelconque comprise entre ^ et -f- -•

Il faut ajouter que cette fonction 9 (-^,7) doit devenir extrêmement petite lorsqu'on donne à ce une valeur très grande, puisque toute la chaleur sort du seul fover A.

Atin de considérer la question dans ses éléments, on cherchera en premier lieu les plus simples fonctions de x et j, qui puissent satisfaire à l'équation (a); ensuite on donnera à cette valeur de r une expression. plus générale, afin de remplir toutes les conditions énoncées. Par ce moyen la solution acquerra toute l'étendue qu'elle doit