CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL U

avoir, et l'on démontrera que la question proposée ne peut admettre aucune autre solution.

Les fonctions de deux variables se réduisent souvent à une expression moins composée lorsqu'on attribue à l'une des variables ou à toutes les deux une valeur infinie; c'est ce que l'on remarque dans les fonctions algébriques qui, dans ce cas, équivalent au produit d'une fonction de x par une fonction de y. Nous examinerons d'abord si la valeur de r peut être représentée par un pareil produit; car cette fonction V doit représenter l'état de la lame dans toute son étendue, et par conséquent celui des points dont la coordonnée x est infinie. On écrira donc

substituant dans l'équation [a) et désignant —r^ par F\x) et — ^V"^ par/'(7), on aura

on pourra donc supposer

^^ = m* et #4=— •.

m étant une constante quelconque; et, comme on se propose seulement de trouver une valeur particulière de v^ on déduira des équations précédentes

F(^) = e-'«^ /(/) — cosmy.

On ne pourrait point supposer que m est un nombre négatif, et l'on doit nécessairement exclure toutes les valeurs particulières de r où il entrerait des termes tels que c^'*^, m étant un nombre positif, parce que la température v ne peut point devenir infinie lorsque x est infiniment grande. En effet, la chaleur n'étant fournie que par la source constante A, il ne peut en parvenir qu'une portion extrêmement petite dans les points de l'espace qui sont très éloignés du foyer. Le reste se F. ï9

détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et C et se perd dans les niasses froides qu'elles terminent.

L'exposant m qui entre dans la fonction ^-'"•^cos/nj n'est pas déterminé, et l'on peut choisir pour cet exposant un nombre positif

quelconque; mais, pour que s? devienne nulle en faisant y = — - ou

j = H- -, quelle que soit x, on prendra pour m un des termes de la suite 1, 3, 5, 7, . ..; par ce moyen la seconde condition sera remplie.

On formera facilement une valeur plus générale de v en ajoutant plusieurs termes semblables aux précédents, et l'on aura

{b) V rrae-^cosj-h ôe-'**^ cos 3 j -+- cc**cos5j-ht/e"'*cos7jH-

Il est évident que cette fonction v^ désignée par 9(^,7)» satisfait à l'équation

et à la condition

Il reste à remplir une troisième condition, qui est exprimée ainsi

et il est nécessaire de remarquer que ce résultat doit avoir lieu lorsqu'on met pour y une valeur quelconque, comprise entre et

H On ne peut en rien inférer pour les valeurs que prendrait la

fonction ç(o, j) si l'on mettait au lieu de y une quantité non com-

prise entre les limites et H L'équation {b) doit donc être

assujettie à la condition suivante :

I — acosy -h 6cos3/ -h ccos5j -i-dcosjy 4-. . . .

C'est au moyen de cette équation que l'on déterminera les coefficients a, b, Cf d, . .., dont le nombre est infini.