CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. IW

Le second membre est une fonction de y, qui équivaut à l'unité

toutes les fois que la variable y est comprise entre et h On

pourrait douter qu'il existât une pareille fonction, mais cette question sera pleinement éclaircie par la suite.

Avant de donner le calcul des coefficients, nous remarquerons Teffet que représente chacun des termes de la série dans Téquation [b).

Supposons que la température fixe de la base A, au lieu d'être égale à l'unité pour tous ses points, soit d'autant moindre que le point de la droite A est plus éloigné du milieu o, et qu'elle soit proportionnelle au cosinus de cette distance; on connaîtra facilement dans ce cas la nature de la surface courbe dont l'ordonnée verticale exprime la température v^ ou ?(^f j). Si l'on coupe cette surface à l'origine par un plan perpendiculaire à l'axe des x, la courbe qui termine la section aura pour équation

les valeurs des coefficients seront les suivantes ainsi de suite, et l'équation de la surface courbe sera

V = ae"-' cos/.

Si l'on coupe cette surface perpendiculairement à l'axe des y, on aura une logarithmique dont la convexité est tournée vers l'axe; si on la coupe perpendiculairement à l'axe des x, on aura une courbe trigonométrique qui tourne sa concavité vers l'axe. Il suit de là que la fonc-

tion -T-\ a toujours une valeur positive, et que celle de -r—, est toujours

négative. Or (art. 123), la quantité de chaleur qu'une molécule acquiert, à raison de sa place entre deux autres dans le sens des x^ est propor-

tionnelle à la valeur de ^-5; il s'ensuit donc que la molécule intermédiaire reçoit, de celle qui la précède dans le sens des rr, plus de chaleur qu'elle n'en communique à celle qui la suit. Mais, si l'on considère cette même molécule comme placée entre deux autres dans le sens

des j, la fonction -t-% étant négative, on voit que la molécule intermé- •

diaire communique à celle qui la suit plus de chaleur qu'elle n'en reçoit de celle qui la précède. Il arrive ainsi que l'excédent de chaleur qu'elle acquiert dans le sens des x compense exactement ce qu'elle perd dans le sens des y, comme l'exprime l'équation

On connaît ainsi la route que suit la chaleur qui sort du foyer Â. Elle se propage dans le sens des x, et en même temps elle se décompose en deux parties, dont l'une se dirige vers une des arêtes, tandis que l'autre partie continue de s'éloigner de l'origine pour être décomposée comme la précédente, et ainsi de suite à l'infini. La surface que nous considérons est engendrée par la courbe trigonométrique qui répond à la base A, et se meut perpendiculairement à l'axe des x en suivant cet axe, pendant que chacune de ses ordonnées décroît à l'infini, proportionnellement aux puissances successives d'une même fraction.

On tirerait des conséquences analogues, si les températures fixes de la base A étaient exprimées par le terme bcos3y, ou par l'un des termes suivants ccosSy, ... ; et l'on peut, d'après cela, se former une idée exacte du mouvement de la chaleur dans les cas plus généraux; car on verra par la suite que ce mouvement se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s'accomplit comme s'il était seul.