CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINL

SECTION II

PRBHIBK EXEXPLB DE L'DSAGB DES 8ÉRIB8 TRIGONOXÉTRIQUB$ DANS LA THÉORIE DB LA CHALEUR.

Nous reprendrons maintenant l'équation

dans laquelle il faut déterminer les coefficients a^ b^ c^ dy .... Pour que cette équation subsiste, il est nécessaire que les constantes satisfassent aux équations que l'on obtient par des différentiations successives, ce qui donne les résultats suivants

i=acosj4- 6cos3/-i- ccos5j-f- c?cos7j -H. . ., o = a sin y-\'Z h sin 3 j -f- 5 c sin 5/ 4- 7 cf sin 77 -+-... , o=r acos/-+- 3*6cos3/H- 5'ccos5/-i- 7'c?cos7j4-. . ., orz:asin/-h 3'6sin3j4- 5'c sin 5/ -\- 7'û?sin 77 -+-. . .,

et ainsi de suite à l'infini.

Ces équations devant avoir lieu lorsque y = o, on aura

o = a-i-3*6-+-5»c-h7*cf4-9*e-Mi'/+- • •> o = aH-3*6H-5*c-i- 7*<i4-9*e-h. . .,

oz=a-h 3*6 + 5*c-h7®<i-+-. . .,

Le nombre de ces équations est infini comme celui des indéterminées a, by Cy df €f .... La question consiste à éliminer toutes les inconnues, excepté une seule.

Pour se former une idée distincte du résultat de ces éliminations, on supposera que le nombre des inconnues a, b, c^ d^ ... est d'abord défini et égal à m. On emploiera les m premières équations seulement, en effaçant tous les termes où se trouvent les inconnues qui suivent les m premières. Si Ton fait successivement /w = 2, /w = 3, m = 4» 'w = 5, ainsi de suite, on trouvera dans chacune de ces suppositions les valeurs des indéterminées. La quantité a, par exemple, recevra une valeur pour le cas de deux inconnues, une autre pour le cas de trois inconnues, ou pour le cas de quatre inconnues, ou successivement pour un plus grand nombre. Il en sera de même de l'indéterminée i, qui recevra autant de valeurs différentes que Ton aura effectué de fois l'élimination; chacune des autres indéterminées est pareillement susceptible d'une infinité de valeurs différentes. Or la valeur d'une des inconnues, pour le cas où leur nombre est infini, est la limite vers laquelle tendent continuellement les valeurs qu'elle reçoit au moyen des éliminations successives (*). Il s'agit donc d'examiner si, à mesure que le nombre des inconnues augmente, chacune des valeurs a^ byC^d,... ne converge point vers une limite finie, dont elle approche continuellement.

Supposons que l'on emploie les sept équations suivantes :

3* 6-f-5* c-h7* cf-+-9* e 36 ^ -1- 5« c -h 7« t/ -+- 9« e 3* ^ 4- 5* c 4- 7* e/ H- 9^ e 3io6H-5^0c-+-7^°i/-f-9'^^ 3»»6 4-5*»c-i-7»'é/4-9»-e

ii'V+

(») Co point nest nullement évident et aurait besoin do démonstration. Quoi qu'il en soit, la méthode si naturelle que suit ici Fourier, et qu'il emploie aussi plus loin dans l'étude des séries trigonométriques les plus générales, nous parait, malgré son insuffisance, mériter l'attention des géomètres; car il y a, dans les différentes parties de la Science, bien des questions dont la solution peut se rattacher à la considération d'un nombre infini d'équations linéaires contenant un nombre infini d'inconnues. G. D.