Donc, si la fonction proposée est de la forme

qui a la propriété de demeurer la même en échangeant x' en x" (88 J, toutes les racines de l'équation 0 = o seront égales deux à deux; de

sorte que cette équation s'abaissera au degré j__i u lE- . De même la fonction

f[[x',.x", x'")[xIV){xv). . .]

devant demeurer la même, quelque permutation qu'on y fasse entre les trois racines x', x", x'", il s'ensuit que l'équation 0 = o aura toutes ses racines égales 1.2. 3 à 1.2. 3; de sorte qu'elle s'abaissera au degré 1.2.3

Et la fonction

qui doit demeurer la même, quelque permutation qu'on fasse entre les deux racines x', x", ainsi qu'entre les deux x'", xlv, donnera une équation 0 = o où les racines seront toutes égales 1.2x1.2 à 1.2x1.2;

de sorte qu'elle s'abaissera au degré — — ' ' ■ ^ ° 1 . 2 x 1 ■ - 2

En général, la fonction

f[(x', x", x'",. . ., xW)[x(°-+t\ .r(a+2>, x(°+3>,. . ., x("-m)(x(*+ï+l\. ..)...]

donnera une équation 0 = o, où la quantité 0 sera une puissance qui

aura pourexposantle nombre 1.2. 3. ..a x I.2.3.../3 x 1.2. 3..., de manière

que cette équation s'abaissera au degré ~ o'"i- •;

1 ^ D 1 .2.3. . .aXi .a. 3. . .pxi .2.3. . .

On voit par là que toute fonction de la forme

f[{x', x", x'",. . . , xM)],

qui aura la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu'on fasse entre les racines ad ', x", x'",..., xw de l'équation proposée, devra

dépendre seulement d'une équation du degré ' " \ ' ' ' ^ = 1, c'est-à-dire

du premier degré; de sorte qu'elle devra être déterminable algébriquement et rationnellement par les coefficients m, n, p,... de la proposée; théorème que nous avons déjà supposé dans les Sections précédentes comme évident par soi-même, mais dont la démonstration rigoureuse dépend des principes établis ci-dessus.

On peut aussi conclure de ce qui précède que, si l'on a une fonction quelconque qui ne contienne qu'un nombre X des p. racines x', x", x'",..., en sorte qu'elle soit représentée par

f[(x')(x")(x">)...(xM)],

elle conduira simplement à une équation du degré I'2' -4---P- car 1 1 D 1 . 2 . 3 . . . ( (jl — A y

il est clair qu'on peut regarder la fonction proposée comme étant de la

forme

f[{x'){x"){x'")...{xM){xO-+<), xP+*\ ... , xM)],

en supposant, ce qui est permis, que les racines xll+i], x{l+2}, . . . , x^ y soient multipliées par des coefficients égaux à zéro ou élevées à des exposants égaux à zéro.

Donc la fonction

f[(x', x")(x'", XIV, X", . . . , #(*))]

conduira à une équation du degré — " . " ' [J' — =-, et ainsi des autres. 1 D 1. 2X1.2. 3. :\\).— a)

Et la fonction

f[(x', x", x'", . . . , xO-))^

conduira à une équation du degré

I ■ 2 ■ 3 ■ ■ ■ (JL [JL((l — l)((i — 2). ..([/.— ~k-\-l)

i . 2 . 3 . . . À X i ■ 2 . 3 . . . ( ij. — A ) i.2.3. . .1

Ainsi, si l'on voulait abaisser, en général, l'équation proposée du degré p. à une équation d'un degré inférieur ~k, telle que

xk -f- «a?*-1 -+- bx'1— 2 -4- . . . = o,

laquelle eût toutes ses racines communes avec la proposée, c'est-à-dire dont les racines fussent x', x", x'", . . . , x(l}, on tomberait nécessairement dans une équation du degré

p(fA— l)(^— 3). -.(p.— X-f- I) I.2.3...X

pour la détermination de chaque coefficient a, b, c, . . . ; car ces coefficients seraient nécessairement des fonctions de la forme

comme on l'a fait remarquer dans le n° 89. C'est aussi une proposition connue depuis longtemps, mais qu'on n'avait pas encore, ce me semble, démontrée en toute rigueur.

Or, comme en prenant À moindre que ij. le nombre

ne peut jamais être plus petit que f/., il s'ensuit que l'on ne peut rien se promettre de ces sortes de réductions pour la résolution générale des équations.

99. De tout ce que nous venons de démontrer il s'ensuit donc, en général : i° que toutes les fonctions semblables des racines x', x", x'", . . . d'une même équation sont nécessairement données par des équations du même degré; 2° que ce degré sera toujours égal au nombre i.2.3...jj. (ij. étant le degré de l'équation donnée), ou à un sous-multiple de ce

nombre; 3° que pour trouver directement l'équation la plus simple 6 = o par laquelle devra être déterminée une fonction quelconque donnée de ce', ce", x'",..., il n'y aura qu'à chercher toutes les différentes valeurs que cette fonction peut recevoir par les permutations des quantités x', x", x'",... entre elles, et, prenant ces valeurs pour les racines de l'équation cherchée, on déterminera par leur moyen les coefficients de cette équation suivant les méthodes connues et employées déjà plusieurs fois dans ce Mémoire.

100. Or, dès qu'on aura trouvé, soit par la résolution de l'équation 5 = oou autrement, la valeur d'une fonction donnée des racines x', x", x'", . . . , je dis qu'on pourra trouver aussi la valeur d'une autre fonction quelconque des mêmes racines, et cela, généralement parlant, par le moyen d'une équation simplement linéaire, à l'exception de quelques cas particuliers qui exigent une équation du second degré, ou du troisième, etc. Ce Problème me paraît un des plus importants de la théorie des équations, et la Solution générale que nous allons en donner servira à jeter un nouveau jour sur cette partie de l'Algèbre.

Nous commencerons par supposer, pour plus de simplicité, que les deux fonctions proposées, dont les valeurs sont l'une connue et l'autre inconnue, soient semblables, suivant la définition que nous avons donnée de ce terme dans le n° 88, et nous désignerons, en général, par t la première de ces deux fonctions et par y la seconde; nous désignerons de plus par t', t", t'", . . . , 2(CI) les différentes valeurs de t qui proviennent de toutes les permutations possibles entre les racines ce', x", x'", .. ., et pareillement par y', y", y'", . . . , y(m} les différentes valeurs de la fonction y provenantes des mêmes permutations; car, les deux fonctions t et y étant supposées semblables, il s'ensuit que le nombre des valeurs différentes dont elles seront susceptibles par toutes les permutations possibles entre x', x", x'",... sera le même pour l'une et pour l'autre, et que ces valeurs seront dues aux mêmes permutations dans les deux fonctions.

Ainsi les quantités t', t", t'",..., tm seront les racines de l'équation en t, qui sera par conséquent du degré tz, et les quantitésy', y", y", . . . ,

y(ra' seront pareillement les racines de l'équation en y, laquelle sera du même degré ts. On pourra donc trouver ces équations en t et en y par les méthodes exposées plus haut; mais nous n'aurons besoin que d'avoir l'équation en t, que nous représenterons, en général, par

i + kt + ~Bt--hCt3 -h. . . + Ktu—o,

ou plus simplement par 0 = o, en supposant

e = i-h \t -hBr- + ct3-h. . .-t- Kt°,

où les coefficients A, B, C,... seront des fonctions connues des coefficients m, n, p,. . . de l'équation proposée en x dont les racines sont x', x", x'", . . . .

Cela posé, qu'on considère en général la fonction ûy, il est visible que les différentes valeurs de cette fonction résultantes de toutes les permutations possibles entre les racines x', x", x'", . . . seront t'ly' , t"'hy" , t'"xy" ',.. . , *(ra>xy(CT> ; de sorte qu'en prenant la somme de toutes ces valeurs on aura la fonction

lay'-h r\r"+ t"a y"1 ->r . . .-t- |(",)l^W,

laquelle aura la propriété de demeurer invariable, quelque permutation qu'on y fasse entre les racines x', x", x'", . . . , et par conséquent pourra s'exprimer algébriquement et rationnellement parles coefficients m, /;, p,... (98).

Qu'on cherche donc les valeurs de celte fonction pour les exposants À = o, i , 2, 3, . . . , zô — i , et qu'on les dénote par les quantités M, M, , M2, M3,..., M(BT i), on aura les w équations suivantes

.r' -i- y" -i- y'" -+-..-.-+- yW = M ,

*' y' + *" r" -+- ï" t'" -+-•■•-!- 1^~> yci = m, ,

t'3y ' ■+ t"-y" +■ t""y'" -+-...+ tw yW = M} , t'3y' -t- l"3y" -+■ i""°y'" + . . . + tWyW = M3,

£'=-lj'| t»™-ly>'+ l»a-iy*l+ . . . ) t<*)~-\y.W ,

où les termes M, MH, M2,..., M(CT,) seront des quantités connues en m,

Il s'agit maintenant de tirer de ces rs équations, par la voie de l'élimination, les valeurs dessr inconnues y', y", y'", ■ ■ • , J(CT); or, si l'on suivait pour cela la méthode ordinaire, on tomberait dans des expressions fort compliquées et qui auraient d'ailleurs l'inconvénient de renfermer à la t'ois toutes les quantités t', t", t'", ... ; il faudra donc employer une autre méthode, et voici celle qui m'a paru la plus propre.

Je prends un nombre zs — i de quantités indéterminées que je désigne par N(, N2, N3,..., N^-o» et je multiplie respectivement par ces quantités toutes les équations précédentes, excepté la première; après quoi je les ajoute ensemble, ce qui me donne cette équation unique

M + M, N, 4-M2,N2 h-M3N3 +...--(-M(^„N(„h) = (i-4-N,f +N,,/'S -4-N3*'3 +.. .-i-N(„,)i!'CT-,)r' -f-(n-N, t" + N2r2 -+-N3if"3 H-. . . + N(„o t""-*) y"

4- (n- N, tW + N2 tW + N3 1^3 + . . . -t- N(„o tW"->)y<">. Supposons, en général,

et désignons par T', T", T'", . . . , T(CT) les valeurs particulières de T, que l'on aura en faisant successivement t — t', t", t'",..., £(CT); il est clair que l'équation précédente se réduira à cette forme très-simple

T'y' -h T"y"+ T'"y'"+ .-. . 4- HWyW

Maintenant, pour trouver la valeur d'une quelconque des inconnues

y', y", y'" comme de yl?), il est clair qu'il n'y aura qu'à faire évanouir

les coefficients de toutes les autres inconnues, à l'exception de celle-ci, et l'on aura sur-le-champ

M + MlN, + MiN!+MiNi + ...+ M(„-q N(g, >

DES EQUATIONS. 377

Et les équations

à l'exception de T(p) = o, serviront à déterminer les ar — i indéterminées N„Na,N,,...,N(Br„.

En effet, pour que toutes ces équations particulières aient lieu à la fois, il est visible qu'il faudra que l'équation générale T = o ait pour racines les quantités t', t", t'",..., t{m), à l'exception seulement de 2(p>; donc, si l'on multiplie le polynôme T, dont le terme tout connu est

l'unité, par le facteur i — —^ on aura le polynôme T ( i— — A, qui

étant égalé à zéro aura pour racines toutes les quantités t', t", t'", .,., t[m) ; mais ces racines sont déjà celles de l'équation 9 = o; donc, puisque le

terme tout connu, tant du polynôme T ( i — — ; ) que du polynôme 5, est

Ht) )

égal à l'unité, il s'ensuit qu'on aura l'équation

ou bien

-îSi}'+l*-^f^ |N,-J)*'+v.= .+AM i- -f-C^H-...,

d'où, à cause que cette équation doit être identique, on tire

Ht) ■' "■" f(p) ' 3 J(p)

et de là

Ht) '

— Ht) t(tP

Maintenant, pour trouver la valeur de la quantité T(p), on remarquera 111. 43

que l'on a, en général,

de sorte qu'il n'y aura qu'à faire dans cette expression t = t®; mais, comme cette supposition fait évanouir en même temps le numérateur 6, parce que z(p) est une des racines de l'équation 0 = o, et le dénomina-

ces quantités leurs différences; ainsi l'on aura, en faisant varier t, la

de . j

dT ' W>' dQ dt

fraction — -r- \ —-■■, ainsi, la valeur de T(p) sera égale à ce que devient

désigner ainsi

de\M

ou bien, en substituant la valeur de $ et changeant, après la différentia-

tion, *en t®,

Td) — — XtM — 2B((f)!- 3CtM3 —

Il n'y aura donc plus qu'à substituer cette valeur de T(p), ainsi que celles de N, , N2, N3,..., trouvées ci-dessus, dans l'expression générale de yi?1, donnée plus haut, et l'on aura la valeur de la fonction j(p) exprimée uniquement par celle de la fonction correspondante donnée t{?} et par les coefficients m, n, p,... de l'équation proposée.

Toute la difficulté se réduit donc à trouver tant les coefficients A, B, C,... de l'équation en t

que les quantités M, M,, M2, M3,...; c'est à quoi l'on peut parvenir par différentes méthodes, comme on l'a vu plus haut; l'essentiel consiste à remarquer que toutes ces quantités seront toujours exprimables algébriquement par les seuls coefficients m, n, p,... de l'équation proposée; ce que nous avons démontré à priori avec toute la rigueur possible.

Ces quantités étant donc trouvées, si l'on fait, pour plus de simplicité,