III
et désignant par T = o et 0 = o les équations résultantes on aura sur-le-
champ @ = â--
91 . On voit par l'expression de © que l'équation 0 = o, qui doit servir à déterminer la valeur de la fonction /[{ne') {&")], est du second degré, et que ses deux racines sont /[{oc') {x")] et /[{oc") {x')]. En effet, comme les racines x' et x" sont déterminées de la même manière par l'équation x2 + mx-\-n = o, il est clair que les deux fonctions/^') {x")] et/[{x") {x')], qui ne diffèrent entre elles que par l'échange mutuel des racines a?', x", devront être aussi déterminées par une même équation.
Si la fonction /[{x') {x")] était de la forme /[{x', x")], en sorte que l'on eût (88)
alors on aurait
par conséquent l'équation 0 = o deviendra simplement
d'où l'on voit que la fonction dont il s'agit sera déterminée dans ce cas par une équation linéaire; par conséquent elle sera donnée par une expression rationnelle en m et n.
92. Qu'on demande maintenant l'équation par laquelle devra être déterminée la fonction /[{x') {x") {x'")], en supposant que x', x", x" soient les racines de l'équation du troisième degré
x3 -h mx2 -+- nx -t- p = o.
Prenant, comme ci-dessus, t pour l'inconnue de cette équation, et mettant x, y, z à la place de x ' , x", x'", j'aurai l'équation
?-/[(*) (7)(*)] = °; d'où il s'agira d'éliminer successivement x, y, z par le moyen des trois
DES EQUATIONS. 363
équations
x3 ■+■ mx1 -t- nx -h p = o,
y3 -4- my2 -+- ny -+- p = o,
z3 -h mz2 -+- nz ■+- p =.- o.
Soit
qu'on élimine d'abord de l'équation X = o la quantité x par le moyen de l'équation en x, on aura une seconde équation que je désignerai par Y = o, et où Y sera une fonction rationnelle de t, y, z, et des coefficients m, n, p. Qu'on élimine ensuite y de l'équation Y = o par le moyen de l'équation en y, on aura une troisième équation, que je désignerai par Z = o, et où Z sera une fonction rationnelle de t, z et des coefficients m, n, p. Qu'on élimine enfin de cette équation Z = o la quantité z, par le moyen de l'équation en s, on aura une équation finale, qu'on pourra désigner par T = o, et où T sera une fonction rationnelle de t, m, n, p.
Or, puisque les racines de l'équation en x sont a?', x", x"', si l'on désigne par X', X", X'" les valeurs de X qui résultent des substitutions de ces racines à la place de x, on aura, par le n° 13,
De même, puisque les racines de l'équation en y sont aussi x', x", x'", si l'on dénote par Y', Y", Y'" les valeurs de Y qui résultent des substitutions de ces racines à la place de y, on aura par la même raison
Entin, comme l'équation en s a aussi les mêmes racines x', x", x'", dénotant par Z', Z", Z" les valeurs de Z qui résultent de leurs substitutions
à la place de z, on aura
Mais il est clair qu'on aura
Donc
De là on aura
Donc
Donc
enfin, si
)(ar")(x'")]J X )(x')(x"')]]x
)2 (*'")]] x l'on multiplie
ces trois quantités ensemble, et qu'on fasse,
pour abréger,
Maintenant je remarque que, si l'on suppose ï ->[(*)«] = 0, et qu'on élimine a? par le moyen de l'équation en a?,
x3 -+- mx- -+- nx -+- p = o,
on trouvera, comme dans le numéro précédent, l'équation tinale S = o, de sorte que 3 sera nécessairement une fonction rationnelle de t et des coefficients m, n, p.
On trouvera, par les mêmes principes, que si l'on fait
t-f[(xnr)] = o,
et qu'on élimine successivement x et y par le moyen des deux équations
en x et en y, savoir
x3 -+- mx2 -t- nx -t- p = o,
y3 -t- my2 -t- ny -h p = o,
on aura, pour équation finale, 6 6, = o, où la quantité 6 6,. sera par conséquent une fonction rationnelle de t, m, n, p; et comme 6 en est une aussi, il s'ensuit que 6, sera de même une fonction rationnelle de t et de m, n, p.
Pareillement, si l'on fait
et qu'on élimine x et y par les mêmes équations, on trouvera cette équation finale 6 62 — o, dans laquelle la quantité 6 62 sera donc une fonction rationnelle de t, m, n, p; de sorte que la quantité 62 en sera une aussi. ' Enfin, si l'on fait
et qu'on élimine de même x et y, on trouvera pour équation finale 6 63 = o; de sorte que la quantité 6 63 sera une fonction rationnelle de t, m, n, p, et par conséquent la quantité 63 en sera aussi une.
Donc, puisque les quantités 6, 6,, 62, 63 sont chacune des fonctions rationnelles de t et des coefficients m, n, p, il s'ensuit que l'équation
T=o, savoir 00 0,0203 = o,
pourra se décomposer en celles-ci
0 = o, 0, = o, 62=o, 03:=o et 0 = o;
de sorte que la quantité 0 sera aussi une fonction rationnelle de t, m, n, p. Or il est facile de voir que les équations
sont toutes étrangères à la question proposée, c'est-à-dire à la détermination de la fonction f[{x') [x") (x'")] ; car ces équations, comme il paraît par les expressions des quantités 6, 6t, 62, 63, ont pour racines des fonctions de x', x", x'" d'une forme différente de la proposée; ainsi il ne restera que l'équation 0 = o, qui renfermera par conséquent toutes les racines utiles à la solution du Problème.
93. Pour trouver donc cette équation 0 = o, il n'y aura qu'à éliminer des cinq équations
t-f[ix){ff] = o,
lés inconnues a?, j, s par le moyen des équations
x3 H- mx1 -+- nx -+- p = o, y% -+- my1 -t- ny -\- p — o, z3 -h mz2 -+- tiz +jb = o;
et, désignant les équations finales résultantes par
on aura
par conséquent
Cette méthode au reste serait extrêmement longue et pénible dans la pratique, et elle le deviendrait de plus en plus, à mesure que l'équation proposée serait d'un degré plus haut; aussi ne l'ai-je donnée ici que parce qu'elle sert à faire connaître, d'une manière directe et indépendante de toute considération étrangère, la nature de l'équation cherchée 0 = o.
94. En effet il est visible, par l'expression de 0 donnée ci-dessus (92), que la réduite 0 = o sera du sixième degré, ayant pour racines les fonctions
lesquelles sont toutes semblables, et dérivent l'une de l'autre par de
simples permutations entre les quantités x', x", x'"; il est. clair en effet que, comme ces quantités sont toutes déterminées de la même manière
par l'équation
x3 -+- mx2 -+- nx +j5 = o,
dont elles sont les racines, l'équation qui donnera la valeur d'une fonction quelconque des mêmes quantités devra donner également les autres fonctions qui viendront de toutes les permutations possibles entre elles. Cette proposition paraît même assez évidente par elle-même pour n'avoir pas besoin de démonstration; mais on ne voit pas aussi évidemment, ce me semble, que l'équation dont il s'agit ne devra contenir d'autres racines que les différentes fonctions qui viendront des permutations entre les racines de la proposée; c'est-à-dire qu'en supposant cette équation formée du produit des facteurs simples
chacun des coefficients pourra toujours s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficients m, n,... de l'équation proposée; or c'est sur quoi notre démonstration ne laisse aucun doute, puisque l'on a vu que la quantité 0, qui est égale à ce produit, est toujours nécessairement une fonction rationnelle de t, m, n,
95. Si l'équation proposée était d'un degré plus haut, en sorte qu'elle eût quatre ou un plus grand nombre de racines x' , x", x'", x1",..., on pourrait trouver de même l'équation 0 = o, qui servirait à déterminer la fonction/[(;r') [x") [x'") (x™)...] ; et l'on verrait que la quantité 0 serait le produit d'autant de facteurs simples tels que
qu'il y a de permutations possibles entre les racines x', x", x'", x",...; de sorte que, si l'équation proposée est du degré y., le nombre des fac-
leurs simples de la quantité 0, et par conséquent le nombre des racines de l'équation 0 = o sera marqué par 1.2. 3. ..p., puisque ce nombre est celui de toutes les permutations dont \x choses sont susceptibles; et les racines de cette équation seront les différentes fonctions dans lesquelles la fonction proposée/[(a?') {x") (x'")...] pourra se changer parles permu- ' tations des racines x', x", x'",... entre elles.
96. Or, pour trouver toutes ces différentes fonctions par ordre et sans en omettre aucune, on échangera d'abord, dans la fonction proposée, x" en x' et vice versa; on aura ainsi deux fonctions; ensuite on échangera successivement dans ces deux-ci x'" en x', en x", et l'on aura six fonctions; puis dans ces six on échangera successivement alv en x', en x", en x'" et l'on aura vingt-quatre fonctions, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait épuisé toutes les racines x', x", x'",
D'où l'on voit clairement que le nombre des fonctions différentes doit croître suivant les produits des nombres naturels
Ayant toutes ces fonctions on aura donc les racines de l'équation 0 = o; de sorte que, si on la représente par
on aura sr = 1.2.3.4- • -p.; et. le coefficient M sera égal à la somme de toutes les fonctions trouvées, le coefficient N égal à la somme de tous les produits de ces fonctions multipliées deux à deux, le coefficient P égal à la somme de tous les produits des mêmes fonctions multipliées trois à trois, et ainsi de suite.
Et comme nous avons démontré ci-dessus que l'expression de 0 doit être nécessairement une fonction rationnelle de t et des coefficients m, n, p,... de l'équation proposée, il s'ensuit que les quantités M, N, P,... seront nécessairement des fonctions rationnelles de m, n, p,... qu'on pourra trouver directement, comme nous l'avons pratiqué dans les Sections précédentes. Voyez là-dessus, outre l'Ouvrage de M. Cramer que nous avons déjà cité, encore celui de M. Waring, qui a pour titre Medi- III. 47
tationes algebraïcœ, Ouvrage rempli d'excellentes recherches sur les équations.
97. Quoique l'équation 0 = o doive être, en général, du degré i . 2 . 3 . . . p. = Ts, qui est égal au nombre des permutations dont les p. racines x', x", x"' ',... sont susceptibles, cependant s'il arrive que la fonction soit telle, qu'elle ne reçoive aucun changement par quelqu'une ou quelques-unes de ces permutations, alors l'équation dont il s'agit s'abaissera nécessairement à un degré moindre.
Car supposons, par exemple, que la fonclion/[(a?') (x") (x'") (a?IV)...] soit telle, qu'elle conserve la même valeur en échangeant x' en x", x" en x'", et x'" en x', en sorte que l'on ait
il est clair que l'équation 0 = o aura déjà deux racines égales; mais je vais prouver que dans cette hypothèse toutes les autres racines seront aussi égales deux à deux. En effet, considérons une racine quelconque de la même équation, laquelle soit représentée par la fonction
comme celle-ci dérive de la fonction
en échangeant x' en x'v, x" en x'", x" en x, x" en x", il s'ensuit qu'elle devra garder aussi la même valeur en y changeant xiv en x'", x'" en x' et x' en X1"; de sorte qu'on aura aussi
Donc, dans ce cas, la quantité 0 sera égale à un carré ô2, et par conséquent l'équation 0 = o se réduira à celle-ci 0 — o, dont la dimension
sera — •
On démontrera de la même manière que, si la fonction
est de sa propre nalure telle, qu'elle conserve la même valeur en faisant deux, ou trois, ou un plus grand nombre de permutations différentes entre les racines x , x", de'", x",..., les racines de l'équation 0 = o seront égales trois à trois, ou quatre à quatre, ou, etc.; en sorte que la quantité© sera égale à un cube S3, ou à un carré-carré 5'', ou, etc., et que par conséquent l'équation 0 = o se réduira à celle-ci 6 — o, dont le degré sera
égal a -^s ou égal à ~i ou, etc.
