X -\ 75 X" -\ r.5 X -i Tl.l X'v

x' X. X" XJ

mais on a x" = —,■> xlv = -^ ? • ■ ■ ■> donc ces racines seront

et par conséquent égales deux à deux; de sorte que l'équation en y, qui

devrait être naturellement du degré p., s'abaissera d'elle-même au de-

erre — ■

On pourrait aussi employer une autre substitution qui abaisserait de même l'équation, mais en faisant disparaître toutes les puissances impaires de l'inconnue; c'est celle-ci x = - — -■> laquelle donne y = t , x'i. car alors les racines de la transformée en y seraient

c'est-à-dire (à cause de x" = — ) x"

et par conséquent égales deux à deux, et de signes contraires.

113. Dans l'exemple précédent, c'est par la forme même de l'équation qu'on a reconnu la relation qu'il doit y avoir entre ses racines, et qui la rend susceptible de réduction; mais on peut aussi déduire cette connaissance de la nature même du Problème qu'on a à résoudre; c'est ce qu'il est bon de faire voir par quelques exemples.

Soit proposé de trouver quatre quantités en proportion continue, dont la somme soit donnée ainsi que celle de leurs carrés.

Nommant ces quantités inconnues x, y, s, u, on aura par les conditions du Problème ces quatre équations

xz = y2, yu = z2, x-h-'y + z ■+■ u = «, x2 -+- y2 + z- + iû = b1,

a et b étant des quantités connues.

Pour éliminer plus facilement les trois inconnues y, z, a, et avoir une équation finale en x, je fais y = rx, et j'aurai, par les deux premières équations, z — r-x, u = r3x, valeurs qui, étant substituées dans les III. 5a

deux dernières, donnent celles-ci

d'où il ne s'agira plus que d'éliminer r.

Pour faciliter cette élimination je multiplie la première par i — r, et la seconde par i — r2, j'ai ainsi

et, divisant cette dernière par l'autre, j'aurai

de sorte qu'on aura maintenant ces deux-ci

d'où il est facile de tirer

— lax

iab2 —

Si l'on substitue maintenant la valeur de r, que donne la première de ces équations, dans la seconde, on aura une équation finale en x qui, étant développée, montera au cinquième degré; mais si l'on substitue la même valeur de r dans l'équation primitive

on en aura une en x qui ne montera qu'au quatrième, et qui sera l'équation la plus simple qu'on puisse avoir pour la détermination de l'inconnue x.

Je vais prouver maintenant, sans connaître même la forme de cette équation, qu'elle doit être décomposable en deux équations du second degré, moyennant une autre équation du second degré aussi.

Pour cela, je remarque que si, au lieu de chercher l'inconnue x, on

DES ÉQUATIONS. Ml

eût cherché l'inconnue u, on serait tombé dans une équation semblable; car, faisant z = su, on aurait y = s-u etx = s3u; de sorte que les équations en s et u seraient

c'est-à-dire entièrement semblables aux équations en x et r. D'où je conclus d'abord que la valeur de l'inconnue u sera nécessairement aussi une des racines de l'équation en x trouvée ci-dessus.

Or, oin« = r3 x, et, divisant la valeur de r'', trouvée ci-dessus, par

celle de r, on a

2 ab2 — ( a' -+- b3 ) x

par conséquent,

x(a2 -h b2 — 2 ax ) '

zab1— {a2+ b2)x à1 -h b' — 2 ax

Ainsi, si l'on dénote par x, x", x'", xlv les quatre racines de l'équation en x dont il s'agit, ces racines seront telles, qu'on aura

„ iab2 — {a2-hb')x' a2 + b2 — 2 ax'

c'est-à-dire

lax'x" — («2-f- b2) [x' + x") -t- 2ab2 = o;

or, il n'y a pas plus de raison pour que cette équation subsiste entre les deux racines x', x" qu'entre les deux autres x", x"; par conséquent on

aura aussi