ax"'x1T — (a2 + b2) (as" -h xiv) -+- iab2= o
Voilà donc deux équations semblables qui ont lieu entre les racines x', x" et x'", x", et qui sont de plus telles, qu'elles ne changent point en changeant a?' en x" et x" en x"; donc, par le n° 111, on pourra sûrement décomposer l'équation en question du quatrième degré en deux autres du second degré, telles que
où les coefficients/' et/" seront racines d'une équation du second degré ainsi que les coefficients g' et g".
Et comme ces deux équations doivent renfermer, l'une les deux racines x', x", et l'autre les deux autres racines x'", xlv, on aura
f = x'-hx", g' = x'x", f"=x'"-hxl", g" — x'"xl";
donc on aura
d'où
%ag' — [a2 -h b2)f -+- iab2 — o, 2 ag" — ( a2 -+■ b2 ) f" + 2 ab2 = o,
, (a2 + b2)f — iab2
„ (a2 -t- b2) f" — iab2
De sorte que les deux facteurs de l'équation proposée seront
, ' (a2-hb2)f'—2ab2 x2—f'x-h- u — =o,
... {a2 + b2) f" '— iab2
•' ia
Pour le faire voir et trouver en même temps l'équation dont les racines seront/' et/", il faut chercher d'abord l'équation du Problème en x. Or faisant, pour abréger,
a2+b2 ia
on aura r = c — ex, et cette valeur, étant substituée dans l'équation
x ( i + /• -f- r2 -f- r3) = a, donnera, en ordonnant les termes par rapport à x, celle-ci
DES EQUATIONS. 413
Maintenant, à cause de
= - et b2 = — ,
ia e e-
les deux facteurs de cette équation seront
m cf" l — c~
qui, étant multipliés l'un par l'autre, donnent
r2Cs,s„ l—°2,j; y//, 1 °2 j-i n, C(\ — C2),„, „.. (i — C2)2
La comparaison des trois premiers termes de cette équation avec ceux de la précédente donne d'abord
fl fn C fl fli\ , 2 ( I — C2 ) I+2C+3C''
et par conséquent
J J - ei
Et l'on trouvera que ces valeurs de /' -+-/" et de /'/" satisferont aussi à la comparaison des autres ternies.
Ainsi, les quantités/' et/" seront les racines de cette équation
J'avoue qu'on peut résoudre le Problème précédent d'une manière plus simple, comme Newton l'a fait dans son Arithmétique universelle, où, à l'aide d'un certain choix entre les inconnues, il parvient d'abord à deux équations du second degré; mais, d'un côté, il me semble que la
solution que je viens de donner est en quelque façon plus directe et plus lumineuse, puisqu'elle fait voir la raison pourquoi l'équation du quatrième degré, à laquelle on est naturellement conduit, doit être résoluble au moyen de deux du second; et, de l'autre, la règle que Newton établit pour le choix des inconnues n'a point été démontrée par cet Auteur et ne peut l'être, si je ne me trompe, que par les principes généraux que nous avons établis ci-dessus. Mais ce n'est pas ici le lieu de nous étendre sur ce sujet.
114. On pourrait aussi, par la méthode précédente, résoudre avec la même facilité le Problème où l'on demanderait un nombre quelconque p. de quantités en proportion continue, dont la somme et celle de leurs carrés seraient données.
Car, nommant x le premier terme de la progression, et rx le second, on aura d'abord ces deux équations
x (i -f- r -+- ï2 -t- rs -+■ . . . -t- r*—' ) = a, x2(i.+ r! -f- r4 -+- r8 -f- . . . -+- r2^-") = b2,
qui se changent en ces deux-ci
d'où l'on tire, comme plus haut,
a2 -t- 62 — iax
(a2 — b2) x La valeur de r, qu'on peut mettre, comme ci-devant, sous la forme
r = c — ex, étant substituée dans la première équation, donnera celle-ci
x[i h- (c — ex) -t- (c — ex)2 -h (c — ex)3 4- . . .-h(c — ex)'-'} — a = o, laquelle sera, comme on voit, du degré ja.
On prouvera maintenant, par un raisonnement semblable à celui qu'on a fait plus haut, que le premier terme x et le dernier f/i~Kx de la progression continue devront être également racines de l'équation précédente; mais en divisant la valeur de r^ par celle de r, on a
nab2 — (a2-¥- b2) x x (a2 -\- b2 — iax)
iab2— (a2-+- b2) x
rv-'x =
a2 -+■ b2 — iax
De là, en nommant œ', x", x'",..., x^ les racines de l'équation précédente, on aura cette condition, entre les deux racines x', x",
2 ax'x" — [a2 + b') (x' ■+■ x") + i ab2= o,
et comme il n'y a pas plus de raison pour qu'une telle relation ait lieu entre les racines x', x" qu'entre les racines x'", xlv, ou xv, xVI, ou, etc., on aura de même
2.ax'"xl" — {a2 ■+- b2) (x'" -+- x1") -+- 2<z62= o, i.ax" x"' — {a2 + b2) (x" -+■ xYt) -h iab2 = o,
le nombre des équations étant — ou > suivant que p, sera pair ou
impair.
D'où, et de ce qu'on a démontré dans le n°111, il s'ensuit que l'équation du fj(.'""e degré doit être décomposable en - ou équations du
second degré, telles que
dans lesquelles les coefficients/',/'", /'",■■■ seront racines d'une même équation du degré - ou — ; ainsi que les coefficients g', g", g'",
Et comme, à cause de
f' = x' + x", f" = X'" ^- X1",. . ., g' = x'x", g" =r. x'" Xiy , . . . ,
on a
iag' — (a' -h b2)f -f- 2aè2 = o,
■zag" — (a2 + b')f" -+- 7.ab- — o,
- iab2
„ (a2-hb2)f-
- 2 ab2
S za
de sorte que les - ou facteurs de l'équation dont il s'agit seront
/., (a2 + b2) f — iab-
x2 —fx -f- — — o,
ia
— iab2
ia
— iab-
Dans le cas où ;j. est un nombre pair, le produit de toutes ces équations devra donner l'équation du degré p. trouvée ci-devant; mais, dans le cas où \j. est un nombre impair, il faudra y ajouter encore un facteur simple, tel que x — h = o.
La multiplication faite, il n'y aura plus qu'à comparer les premiers termes de l'équation résultante avec ceux de l'équation dont nous venons de parler, et cette comparaison donnera les valeurs des quantités
qui seront les coefficients de l'équation en/; et quant au coefficient h, dans le cas où \x est impair, il se trouvera donné par une équation linéaire.
De là il s'ensuit que le Problème proposé peut toujours se réduire à la
résolution d'une équation du degré — ou —
Au reste si , au lieu de déterminer l'inconnue x, on voulait déterminer l'inconnue r, on parviendrait à une équation du genre des réciproques; car les deux équations
donnant
on aura, en chassant x,
ou bien, en divisant par i — r,
i -+- ri* — 6- i -+- r '
b2 d'où, en multipliant en croix et faisant, pour plus de simplicité, — = c2,
on aura
( c2 — i ) r* -+- i c2 ( ri1-1 -+- r*~2 -+-...-)- r) + c2 — i = o,
c'est-à-dire
r* H ( ri*-' -I- r*—2-h .' . . -4- r ) -+- 1 = o,
équation réductible au degré — ou - par les méthodes connues.
Ce qu'il y aura de plus simple pour cela , ce sera d'employer la substitution de r= —, laquelle changera l'équation
en celle-ci
(i -+- jr)v- — (i — y)v- a2y
où toutes les puissances impaires de y disparaîtront d'elles-mêmes. III. 53
115. Ajoutons encore un Exemple tiré de la Géométrie.. Proposonsnous ce Problème très-connu, où il s'agit de mener par le point D du carré ACDB une ligne droite MN telle, que la partie MN de cette ligne, qui sera comprise entre les deux côtés opposés AC, AB du carré, prolongés en M, N, soit d'une grandeur donnée.
Nommant a le côté du carré et b la longueur donnée de la ligne MN, prenons, pour déterminer la position de cette ligne, l'inconnue CM = #; on aura donc MD = \joc2-\-a2 , et les deux triangles semblables MCD, MAN donneront sur-le-champ
x : \fà' ■+■ x2 = (a -h- x) : MN = (a -+- x) : b ;
d'où l'on tire l'équation
bx = {a -+- x) y/«2-(- x2; laquelle, étant dégagée du radical et ordonnée par rapport à x, deviendra
x* -+- 2<zx3-h (2a2 — b2)x2 + 3.aax -+- a* = o,
qui est, comme on voit, du quatrième degré. Voyons maintenant si, par la nature même du Problème, on ne pourra
pas trouver quelque relation entre les racines de cette équation, qui la rende décomposable en des équations d'un degré moindre.
Pour y parvenir je remarque qu'on peut en effet mener par le point D quatre lignes qui remplissent la condition du Problème; ce sont les lignes MN, M'N', M"N" et M'"N'"; de sorte que les racines de l'équation précédente seront les lignes CM, CM', CM", CM", dont les deux dernières sont, comme on voit, négatives.
Dénotons donc ces lignes par x' , x", x'", xlv; et, à cause des triangles semblables MDC, DNB, on aura
