Reprenons l'équation du n° 10, savoir

du - du . du r

elle donnera celle-ci

du „ du , du „

où il faudra, après avoir développé le logarithme log(r + A«) suivant les puissances de Au, appliquer les exposants de ces puissances à la caractéristique A. De cette manière on aura donc

du i du du . A2 « A3 u A4 u

dx dfdz 234

ce qui donne un moyen de trouver les valeurs de -*-■> -3-' • : à l'aide des

différences finies de la fonction u.

Mais ce n'est pas tout : on peut également élever les deux membres de

l'équation à une puissance quelconque >., positive ou négative, en sorte

"qu'on ait

'du ., du , du „ V r. . ,r.

^ + ^ + ^ + '--)=[log(. + AM)]\

et cette équation sera toujours vraie pourvu qu'après le développement des deux membres suivant les puissances de du et de Ah, on change les puissances positives en différences, et les négatives en sommes.

Pour cet effet, considérons la quantité [log (1 -+- w)]\ et voyons comment elle peut se développer en une série qui procède suivant les puissances de u. Il est d'abord clair que si w était très-petit, on aurait log(n- m) = w, d'où il s'ensuit que le premier terme de la série dont il s'agit sera w\ et qu'ainsi elle aura cette forme

ux(i -+- Mw +N(.j'+ p&y + Q&y-t-. . .).

Supposons donc

[logd ■+- cù)f = &)x(i + Mw + Nm' + Pmj + . . .)»

et, prenant les logarithmes de part et d'autre, on aura

3i[log.log(i-t- w) — logw] = Iog(i h-Mw + Nw2+ PoiJ + . . .).

d'où l'on tirera par la différent ation

r 1 1 "1 M + 2Nco + 3Pm2 + 4Q&)3-'-- • •

|(l + û))log(l -+- W) wj ~ I + MtO -4-Nw2-f- Po>3 + Qm4 +. . .

w2 w3 co*

lOg I -i- W) =: û) + ^ T- "(-. • .;

donc, multipliant cette série par 1 -+- w, on aura

w2 w3 w" cos

donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, il viendra

( - -4- -^ — ^7 -4-. . . ) (l+MM + N(,)!+Pt,)3 + . . .)