I.2.3. ..p. Xi.2.3...vXi.2.3...njXi.2.3...pX

lequel est aussi le coefficient du terme x^y^z™ ft... clans la puissance

(x -hr-+-z -h t + . . .) *■+■>+*+(■*-■ ■ ■

8. De là et de ce qu'on a dit dans le n° 5 il s'ensuit que, si dans une fonction u d'un nombre quelconque de variables x, y, z, t, . . . on met a?-4-|, y-+- <\>, z ■+- Ç, t ■+-&,... à la place de ces variables, la fonction proposée sera augmentée d'un nombre indéfini de termes représentés chacun par

^l'Ç-gf... fl?H-*+"+?+.-.M

I.2.3. ..p. Xi.2.3...vXi.2.3...njXi.2.3...pX... cfo*1 rfr" ^2" d'f ■ • • ' ou, ce qui revient au même, par

M ^ 1>V Ç" 0? . . . <fl*+~HM-H-. ■ • M

i.2.3...(// + v-4-5T-t-p-t-...) dx* dy dz™ dï> . . . M étant le coefficient du terme a?^jvzCT«P... dans le polynôme

élevé à la puissance

(jL-hv-hrn-\-p-\-....

Ainsi, pour avoir aisément les différents termes qui doivent composer l'accroissement de la valeur de la fonction u lorsque x, y, z, t,. . . deviennent x+%, j-t-tf, z-h'Ç, t-hô,..., il n'y aura qu'à considérer la série

et, après avoir développé les puissances de x ■+- y-+- z -+- 1 + . . . , on changéra, dans chaque terme, x en -r-» y en -r-i aen x'ïen^'-"'etl on multipliera le même terme par dxu, l'exposant de la différentiation X étant égal à la somme des exposants de x, y, z, t,... dans le même terme. III. 57

Or on sait que

x -+- y -h z ■+- t -+- . . . (x + y-{-z-ht -+-. . .)2 (x-h y-hz + t + . . .)

■■+'+■ • — i = e1 X er X e= X e' X . . . — i

Par conséquent il n'y aura qu'à faire le produit de ces différentes séries et changer ensuite chaque terme comme nous l'avons dit ci-dessus.

9. De là il est facile de conclure que si l'on considère l'expression

du r du , du ., -=-?-(- — '{<-l- — Ç-t-...

a dx dy dz j

et qu'après l'avoir développée suivant les puissances de du, on applique les exposants de ces puissances à la caractéristique d pour indiquer des différences du même ordre que les puissances, c'est-à-dire qu'on change du1 en dlu, -on aura l'accroissement cherché de la fonction u lorsque x, y, z,... y deviennent a? -H- ?, y -+- <\>, z -+- Ç,....

Ainsi dénotant cet accroissement par Au, on aura la formule générale

du du du r

10. Maintenant, comme Au exprime la différence première finie de u, si l'on dénote de même par A2u, A3 m,... les différences finies de u des ordres ultérieurs, on pourra trouver la valeur de chacune de ces différences en ne faisant qu'élever l'équation précédente au carré, au cube, etc., et y changeant ensuite les exposants des puissances en exposants des différences.

De cette manière on aura donc, en général,

AlU:

(du du ! du .. \ X

çdx dy^ dz '" j 1

A LA DIFFERENTIATION ET A L'INTEGRATION. 451

et il ne s'agira plus que de développer le second membre de cette équation de la manière que nous l'avons dit à l'égard de celle du numéro précédent.

Mais il y a plus : on peut supposer que l'exposant X devienne négatif, auquel cas l'équation subsistera également si ce n'est que les différences qui auront un exposant négatif devront être censées changées en sommes

du même ordre. Ainsi désignant, comme à l'ordinaire, par / les sommes

ou les intégrales ordinaires, qui répondent aux différences infiniment

petites marquées par la caractéristique d, et par^ les sommes finies qui

répondent aux différences finies marquées par la caractéristique A, on aura

et de même

A- =2. A-HS",..,

et l'équation précédente deviendra, en faisant X négatif, ou bien mettant — X à la place de X, et par conséquente a "a place de A\

/ du . du , du ~ \ï.

\ed:* dy^d* —r)

On traitera le second membre de cette équation d'une manière semblable à celle que nous avons prescrite ci-dessus.

Quoique l'opération, par laquelle nous avons passé de la différence A«

à la différence A*u et à la sommet u, ne soit pas fondée sur des principes clairs et rigoureux, elle n'en est cependant pas moins exacte, comme on peut s'en assurer à posteriori; mais il serait peut-être très-difficile d'en donner une démonstration directe et analytique; cela tient, en général, à l'analogie qu'il y a entre les puissances positives et les différen-

tiations, aussi bien qu'entre les puissances négatives et les intégrations; analogie dont nous verrons encore d'autres exemples dans la suite de ce Mémoire.

11. Supposons que u soit une fonction de x seul, on aura dans ce cas

du du

par conséquent

d y ' dz ' '

A* u = \ edv — i ) .

Considérons donc l'expression (ew — i)\ et voyons comment elle peut se développer en une série réglée sur les puissances de w. Il est d'abord clair que, si l'on fait w très-petit, on aura ea — i = w, d'où il s'ensuit que le premier terme de la série sera nécessairement w\ Supposons donc

\e" — if =aik{ i-h A « + Bw! + Cco3+ Dw4+. . .),

et, prenant les logarithmes de part et d'autre, on aura

Xlog(e"— i) — Àlogco = log(i + Ato H- Bco2-f- Cw'h- Dm4 +. . .),

et différentiant

A -1- aBw -h 3Cw2 -h 4Dw'+ . . .

i + Am + Bco2-+- Cw3+ Du' +. . . '

donc, substituant cette valeur et multipliant en croix, on aura

M — + . -...](h-Am + Bw2 h- Cm3 + . . . ;

A + 2Bm + 3Cm2

c'est-à-dire

d'où, en comparant les termes, on aura

Ayant ainsi déterminé les coefficients A, B, C,..., on mettra -j- 2 à la place de w, et changeant les puissances de du en des différentielles de u, on aura, en général,

., dxu .,, . dl+' u Mj, t. dl+- u y,^ , nd*+sun.

dxk ^ ' dx1+' - dxx+2 s dxx+3 s

Cette formule servira donc à trouver immédiatement la différence d'un ordre quelconque d'une fonction quelconque de x lorsque x augmente successivement de H, 2%, 32,..., et cela au moyen des différentielles ordinaires; ce qui peut être d'une grande utilité dans la théorie des séries.

Faisons maintenant >. négatif, c'est-à-dire mettons — X à la place de X, pour changer les différences en sommes, et l'on aura dans ce cas

>. / udxx f udxl~' ( udx1-2 j udx'—3

où

Si X = 1 , on aura donc

parce que

r~' . du C 2 1 , ^2«

C'est la formule connue pour trouver la somme d'une série dont on connaît le terme général.

En effet soit u = ç> (oc), on aura, par la nature des sommations,

2» = ? (* — ?)•+ <p (a?— 2g) -+-...; donc, si suivant la notation reçue on fait

p(*)<fc=>(af), -^=9' (a?), ^ '=<?"(*),...,

on aura

tp(a? — g) + <p(a?— i\) + y [x — 3£) -+-. . .

= ^i«?(a?) + P9'(*).Ç-y<p*(a?).E' + .... Si maintenant dans cette formule on écrit x — n% à la place de a*, on

aura de même

vCp(^ — ni) •, * ni, vv „, v, v.

= — — = — — atp(x — «Ç)-f- (3<p '(a? — n\).\ — y 9 "(# — /i£).£2 +

Donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

cp(# — £)4-<p(# — 2^) + cp(à?— 3£)-4-...-t-<p(;r — «g)

+ $£[(?' {x) — (f'(x — n'D] — y£>[c?"{x) — y"(x — ni)] +

Nous ne nous étendrons pas en détails sur cette matière parce qu'elle a déjà été traitée dans différents Ouvrages, et surtout dans le Traité des Fluxions de M. Maclaurin, et dans les Institutions du. Calcul différentiel de M. Euler; on trouve dans ce dernier Ouvrage des Remarques curieuses et importantes sur la nature et les propriétés des nombres a, /3, y,... dans le cas de X = 1 ; mais personne que je sache n'avait encore donné l'expression générale de ces nombres pour les différences et les sommes d'un ordre quelconque.