CJ 2.3-4-X

x (x -+-1) (x + 2) (x + 3) x{x-\-i) {x-\-2) (x -\~ 3) (x -\- ^) c'est-à-dire

14. Nous avons vu que toute fonction u de plusieurs variables x, y, z,... devient w + A« lorsque ces variables deviennent x -+-'£,, J-t-f, s + Ç, . . . , où l'accroissement Au est déterminé par la formule

du c du du ..

A« = eE +^ +^= +'"— 1.

A LA DIFFERENTIATION ET A L'INTEGRATION. 461

De même, si l'on suppose que les variables ce, y, z,... deviennent x -+-%'; /-+-<]/, z -+- Ç, . . . , %, <j/, Ç', . . . étant des quantités différentes de '%, <b, Ç, . . . , et qu'on désigne par A'u l'accroissement correspondant de u, on aura

du „, du , , du .,

Or la première équation donne, comme on l'a déjà vu plus haut,

■ a ■> du ^ du , du

IogC. + A«)=aEç+^ + + a?Ç+...,

• et comme les quantités £, tf/, £,... sont indépendantes les unes des autres, il est clair qu'en supposant d'abord ^ = o, Ç = o, . . . ; on aura

^5 = log(i + A«),

où Au désigne l'accroissement de «qui a lieu tandis que a; seul croit de c; de sorte qu'en désignant cet accroissement partiel de u par Ag«, on aura

du log ( I ■+- A; u )

dx £

De même, si l'on désigne par X^u, A/M,... les accroissements partiels de u qui ont lieu lorsque y, z,... deviennent chacun à part y-\-é, z -+- Ç, . . . , on aura

du log ( i -4- A.;, u ) du log (i + Aç u)

dy ty dz~~ Ç

Ainsi l'on

aura

du .

du . , dy v

du yi

dz '

•|log(n-

log(i

-4- Ai U ) -4

«)'+"(! + A^uf .

Donc

du p. du (( du y, V ^' Ç'

Et par conséquent

A'u — (i + Aj«)' (I -f- Ai M)* (I + A;«)Ç . . .— I,

équation par laquelle on pourra déterminer la valeur complète de la différence A'm de la fonction u lorsque les variables x, y, z,... y croissent en même temps de %', <]/, Ç',..., au moyen des différences partielles A^m, A^u,... de la même fonction, lesquelles résultent lorsque les variables x, y, z,... croissent séparément des quantités £, t|>, Ç

Pour pouvoir faire usage de cette équation il faudra développer les puissances de i-+- A^w, i-t-A^u,... et le produit de ces puissances, suivant les puissances de A m, ensuite on appliquera à la caractéristique A l'exposant de la puissance à laquelle la quantité Au se trouvera élevée, et l'on multipliera ensemble les quantités qui se trouveront au-dessous de la lettre A; ainsi par exemple (A^w)2 donnera Ahu, ce qui indiquera la différence seconde de u prise en faisant varier x seul successivement de £; mais A^w x A^u donnera A^u, ce qui indiquera de même la différence seconde de u, mais prise en faisant varier d'abord x de |, et ensuite y de <|>, et ainsi des autres. La raison de cette opération est facile à apercevoir par la nature de notre calcul.

On pourra aussi tirer de là la valeur de la différence d'un degré quelconque, et pour cela il n'y aura qu'à élever les deux membres de l'équation à une puissance dont l'exposant soit le même que celui du degré de la différence; de cette manière on aura, en général,

A"'w= [(i -t- A;k)c (i + A^uf (i + A;«)ç . . . — ij , et, changeant 1 en —'/., on aura aussi

[(i -+- Açw)« (i + Aj,m)* (i -4- A^uf . . . — ij

A LA D1FFERENTIATI0N ET A L'INTEGRATION. 463

où il faudra développer le second membre de la manière que nous l'avons dit ci-dessus.

15. Les formules précédentes renferment la théorie des interpolations prise dans toute la généralité possible; par exemple, supposons d'abord que l'on ait une fonction u de x seul, dont on connaisse les différentes valeurs lorsque x devient successivement x -+- £,, x -\- 2%, x -+- 3 S,..., et qu'on demande la valeur de la même fonction lorsque x devient x -+- %, £' étant une quantité quelconque. On aura donc dans ce cas di = o, Ç = o,..., et par conséquent

À'm = (i + Ajm)5« — 1.

Or la puissance (1 -t- à^uf étant développée suivant la métbode ordinaire donne

Donc, changeant (A^m)2 en A^u, (A^m)3 en AE33u et ainsi de suite, on aura

c'est l'accroissement que doit prendre la fonction u lorsque x devient égal à x -h £,'; de sorte que la valeur de la fonction u répondante à x + 1' sera exprimée par la série