III
Donc, en général, si u est une fonction quelconque de x, y, z,..., il est clair que, tandis que u devient
. m (m — i ) . m (m — i ) ( m — 2). u-\- mAu h -A!kh : '-A A3u 4-. . .,
ce, y, z,... deviendront
x + mAx -\ - A2x-\ 2 '4 A3x-h. . .,
y -1- mAf H A2y -\ ■ ^ A3 y -+- . . . ,
. m ( m — 1 ) . m (m — i)(mz -h mAz h A2z h : '-A —
D'où il s'ensuit qu'en désignant par o{x,y, z,...) la valeur de u, en
sorte que
u = cp ( x, y, z, . . .),
on aura aussi
u + mAu h A2 m + .
i . m ( m — 1 ) . , f « + mA« h A2.r ■
y -f- mAy + : — ! A-y ■
3 + fflliîH A2Z
équation qui devra avoir lieu, quel que soit le nombre m; de sorte qu'après le développement des termes il n'y aura qu'à comparer ceux qui seront affectés d'une même puissance de m, et l'on aura autant d'équations qu'il en faudra pour déterminer les valeurs de chacune des différences Au, A2 u, ....
18. Supposons que les différences deviennent infiniment petites et qu'en même temps le nombre m devienne infiniment grand, on aura dans cette hypothèse
donc, changeant la caractéristique A en d, on aura l'équation
u -4- m du -+-
( x -t- mdx -+r -4- m c?j -+z -4- 771 rfz -+-
Ainsi, si l'on développe la fonction <p {. . . ) suivant les puissances de m, en sorte qu'il en résulte une série de cette forme
P + fflQ+-m2R + m'S+...,
on aura
;< = P, du = Q, = R, — 5-=S, ....
Par où l'on voit comment on peut trouver sur-le-champ toutes les différentielles de u; c'est ce que nous allons éclaircir par quelques Exemples.
19. Supposons que u soit une fonction de x seul, et que dx soit supposé constant, on aura donc dans ce cas l'équation u = y (x) et
u -t- m du -i 1 ^ h . . . = q> ( x -4- m dx ),
de sorte qu'il ne s'agira que de développer la quantité <p (x + mdx) suivant les puissances de m.
Soit, par exemple,
<s(x) = (a -t- bxf,
on aura
> ( x -t- m dx ) = (a -h bx -+- mb dx - bx Y -t- m rb ( r(r— i)(/'— i)b
= ( a -t- bx )r -+- m rb ( a -t- bx)r~' dx H- m2 — (« -+- bx)'-2dx2
(a -h bx )r~z dx3 -(-...;
donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de m,
u ={a -+- bx'y, du = rb (a -+- bxj^dx, d2u= r(r — i ) b2 ( a ■+■ bx y—1 dx-,
et, en général,
dxu = r(r— i) (/•— 2). . .(/'— I -+- i)b'K(a -+- bxf-^dx1.
On remarquera ici, et la même remarque aura toujours lieu dans les cas semblables, que puisque l'on a l'expression générale de la différentielle de l'ordre )., on pourra, en faisant >. négatif, avoir celle de l'intégrale du même ordre X; ainsi l'on aura
1 , w i , {a -±- bx)r+x
or comme les facteurs r, r — i, r— 2,... vont en diminuant, et que le dernier doit être r -h 1 H- 1 qui est au contraire plus grand que r, cela indique qu'il faut continuer la série de ces facteurs du côté opposé, en employant les divisions au lieu des multiplications, de cette manière
(r + i)(r+a)(r+.3). .;(/•-+ A)' on aura donc en multipliant par dx1-
(a -+- bx )r+l
u dx1 =
;r+i)('' + 2)(i'+3)...(r+À)i1' ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs.
20. Dans le cas de l'Exemple précédent, il aurait été facile de trouver la valeur générale de dlu par la méthode ordinaire des différentiations, mais il n'en serait pas de même si la fonction y {x) était tant soit peu plus compliquée.
Supposons en effet
df{x) = (a -+- bx -+- cx2)r = u,
on verra aisément que les différentielles de <p (x) seront exprimées par des séries dont il ne sera pas aisé de trouver la loi, pour avoir l'expression de d^f(x); suivant notre méthode il n'y aura qu'à mettre x + mdx à la place de x, ce qui rendra a -+- bx -+- ex2 égal à
a -+- bx -+- ex2 + m ( b -+- icx)dx -t- m2c dx2 ; de sorte que la difficulté ne consistera qu'à réduire l'expression
[a -t- bx -+- ex2 -+- m(b -+- icx) dx -+- m2cdx2]r
en une série qui procède suivant les puissances de m. Faisons pour plus de simplicité
a -+- bx -\- cx2 = p, b -+- -i.cx =. q,
en sorte que la quantité proposée devienne
(p -+- mqdx -v- m2cdx2)''.
Je la développe d'abord ainsi
(p -+- mq dx Y -+- r(p -+- mq dx )',1 cm2 dx2 -\ (p ■+■ mq dx)'—2 c2 m* dx*
H ^ — - (p ■+- mq dxY~3 c3 me dx'' -t- . . . ,
et il ne s'agira plus que de développer de même les différentes puissances de p -+- qmdx.
Supposons qu'on veuille avoir, en général, le terme qui sera affecté de la puissance m\ il est clair que si l'on dénote par Amldxl le terme affecté de m' dans la puissance ( p -+- mqdx f , par Bm'-2 dx1"2 le terme affecté de m'~2 dans la puissance (p -+■ mqdx)r~\ par Cm1-1' dx1-'' le terme affecté de mWl dans la puissance [p -+- mqdx)r~-, et ainsi de suite, il est clair, dis-je, que le terme affecté de m'A dans la série précédente sera
représenté par
r(r— i) r r — i r-2) n„3 , mX/7^x.
or le terme affecté de m1 dans la série
, m2d-u u -t- m du H
est évidemment
nùldku
ainsi, comparant ces deux termes, on aura dl u = 1 . 2 . 3 , . . 1
ÏA + rBc 4- ''"'^ ° Ce» + ... 1 «*\
où u =pr.
Mais il est facile de voir que l'on aura
r, (r-3)(r-4)(r- 5)...(r-X + 4) „r-->+3fl*-e "- 1.2. 3. ..(7-6) ^ ' '
Donc, substituant ces valeurs, et faisant attention que
f(r— i)(f— a)...(r — 7-hi) 7(7 — i)(7- a)(7— 3j
et ainsi de suite, on aura
dlpr = r(r — i ) ( /• — 2 ) . . . ( r — X -+- i ) pr~l qx dx1
r X(X — i) cp Kl — i) {1—2) (1—3) c2p2
p = a -h bx -\- ex'1, q = b -+■ icx.
De là on peut, en changeant X en — X, tirer la valeur de / prdxx, et l'on trouvera, d'après ce qui a été remarqué dans le numéro précédent,
dx'
[r-h i)(r-+- 2). . .(r-f-X)çx
T + X(X-t-i) cp X(X + i)(X + 2)(^+3) c'p* [ r-hl-hi q2 2(r + À + i)(r.+ À + 2) j*
X(X + i)...(X + 5) çlp=
Ainsi, faisant X = i, on aura
ffdx = r^- r,+ ^ + - 3-^
Jr (r-hi)ql (/'H-2)o2 (r+a) r +
)q2 (r+a)(r+3).g 4-5.6.c:lp;>
ce qu'on peut aisément vérifier par la différentiation.
Si dans l'expression précédente on fait 2c — k, on aura plus simplement
/prdx = — — —
/»'/>"-- i.3. /fJpr+3
et l'on reconnaîtra facilement la vérité de cette formule en remarquant que dp = qdx et dq = Jcdx.
21. On peut encore trouver une autre expression de (Pu, laquelle reviendra au même pour le fond, mais qui pourra être regardée comme plus simple pour la forme.
Pour cela je reprends la quantité
{p -+- mqdx -+- m2cdx2)r,
dont il s'agit de trouver le terme affecté de m1, et je fais pour un moment dx=ipdt\ elle deviendra
pr ( i +2 mq dt -+- 4 m2 pc dt2 )r ;
je considère maintenant que
4/>e — q- = ^c(a-\-bx-!r ex2) — (b -+■ icx)2 = ^ca — b1;
d'où il s'ensuit que si l'on fait, pour abréger,
4ca — 62= h,
on aura t\pc = A -f-ç'2, ce qui réduira l'expression précédente à celle-ci
pr [(i -l- mqdtf -r- m2hdt2\.
Or la quantité
[(i -+- mqdtf -h m2hdt2]r
se développe d'abord en cette série
(i + mqdt)2r ■+■ r(i -h mqdt)2r~2hm2dt2 h (i -+- mqdty-' h2 m* dt*
-l- — '-~ '-(î-hmqdty-'fcm'dts-h. . .;
ensuite, développant encore chaque puissance de i-hmqdt, on trouvera que le terme affecté de m1 sera représenté par la série
ir{ir — i )
(,ar-a)..,(ar-* + i) x
a)(ar— 3)...(ar— X + i) , u
1) (ir— 4)(2r — 5)...(2r— X — t— 1)
— ni'-q'-'/r-dt' 1.2.3. ..(A — 4)
A LA DIFFERENTIATION ET A L'INTEGRATION. V73
Ainsi cette série, multipliée par pr, sera égale au terme
m1 dxu i.2.3. ..A'
de sorte qu'on aura, en remettant — à la place de dt et// à la place de u,
dxpr = 2 ;- ( 2 r — i ) ( 2 r — 2). . . ( 2 r — A + 1) I - j pr~l doc'-
x [, + ,. M*-*) A + ''(''-') A(A-t)(A-2)(A-3) £ 2r(2r — 1) q2 1 ir(ir — i)(sf — i)(ir — 3) qi
