lXl.2 IXI

Donc, comparant les termes affectés des mêmes puissances de m, on aura

a = xy, du = xdy + ydx, d2u = x d'y -I- idxdy -\-yd2x, d'u = x d"-y -+- 3dx d2y -\- 3dyd2x -+- yd3x,

et, en général,

dl u = y d'-x + Idy d'k~' .r H d2y dl~2x

H — - — -± — - d3yd?-3x -i-...;

A LA D1FFERENTIATI0N ET A L'INTEGRATION. 475

c'est la série que Leibnitz a donnée dans le tome cité des Miscellanea Berolinensia.

Si dans cette série on fait X négatif, c'est-à-dire qu'on y mette — X à la place de X, et qu'on change en conséquence les différences dont l'exposant sera négatif en intégrales du même ordre, on aura

c" rx 1 1 rl+l x(x+-i) ,2 ri+2

j u = y J x — ldyl x H d2y j x

or si l'on suppose, ce qui est permis, que la différentielle dx soit constante, on aura

J 2 dx J 2.3. dx-

et, en général,

J X~ 2.3-4. ..(p. + i)af^'

donc substituant ces valeurs dans l'équation précédente, et la multipliant toute par dx1, elle deviendra

rx x x1+ly lx1+2dy ICX-ï-ijx^dy

Si dans la formule ci-dessus on met dx à la place de x, en sorte que

dx = j a; à la place de j x, et ainsi des autres, et l'on aura

rx / r1" •> ; rx xa + o ,. • r^

J y dx = y f x — kay j x H d'y j x — . . . ,

ou bien, en substituant les valeurs de I x, I x, . . ., et multipliant toute l'équation par dxx~K ,

I y dxK

xly Ax'-'-'dy À(X-t-i) x^d^y