C - BM -+- AM> - M

et cette valeur de N, étant substituée dans l'une quelconque des deux équations précédentes, donnera une équation finale en M qui montera au sixième degré.

Maintenant je remarque cpue si l'une des racines de cette équation se

trouve égale à — > et qu'on ait en même temps C = — ô-> cette

valeur de M donnera N = -; et pour trouver la véritable valeur de N dans

ce cas il faudra reprendre les équations où N montait au second degré,

lesquelles, en y faisant

., A ,, AB A3 M = — et C= ô-j

se réduiront à cette équation unique

ivt D n A=

laquelle est, comme on voit, du second degré, et donnera par conséquent

deux valeurs différentes de N répondantes à la même valeur de M = — •

D'où l'on voit qu'il ne suffit pas d'être assuré que l'équation en M a nécessairement une racine réelle, pour pouvoir l'être aussi que le facteur

x'2 — Ma: -+- N = o

sera réel, puisqu'il peut arriver que le coefficient N soit imaginaire, ce qui aura lieu dans le cas que nous venons d'examiner si

7. Au reste, il est bon de remarquer que la valeur — de M sera nécessairement une racine double de l'équation en M; c'est de quoi on peut se convaincre à priori par cette considération que, comme les deux facteurs

ï!-Mi + N = o, x-— M'x -+- N' = o

sont semblables, les coefficients correspondants M et M' doivent être les racines d'une même équation, ainsi que les coefficients N et N'; ce qui est d'ailleurs évident par les équations mêmes qui servent à déterminer ces quatre quantités, et qui sont telles, qu'elles demeurent les mêmes en y changeant M en M' et N en N'. Ainsi, comme on a trouvé M'= A — M, il s'ensuit que l'équation en M devra être telle, que si M est une de ses

racines, A — M en soit une aussi; donc lorsque M= — ■> les deux racines M et A — M deviendront égales.

On peut encore prouver la même chose par la nature même de l'équation en M; car pour avoir cette équation il n'y aura, comme nous l'avons dit, qu'à substituer l'expression générale de N trouvée ci-dessus, et que

nous désignerons, pour plus de simplicité, par -p5 dans l'équation

M(A — M)-t-N+||=:B, ce qui donnera, en ôtant les fractions,

Q2 - (B — AM -4- M2) QP + DP2 = o,

où

P = A — aï et Q = C-BM-+-AM2 — M3.

Maintenant il est clair que si l'on a en même temps P = o et Q == o, nonseulement l'équation précédente aura lieu elle-même, mais aussi sa différentielle, qui sera

aQf/Q + (A - 2M) QP dM - (B - AM -+- M2 ) (QdV + PdQ) + 2DP dV = o;

d'où il s'ensuit que la racine M = — sera nécessairement une racine 1 1

double.

8. Comme la voie de l'élimination est très-longue, et que d'ailleurs elle ne pourrait jamais conduire qu'à des résultats particuliers, il faudra tâcher de découvrir à priori le degré et la nature de l'équation par laquelle la quantité M devra être déterminée, ainsi que la nature des fonctions qui exprimeront les valeurs des autres quantités N, P, Q,... en M.

Pour cela on considérera que, puisque l'équation

x" — Mx"~' -t- N x"-- — . . . = o est supposée être un facteur de l'équation proposée

x'" — A x'"-' -t- Bxm~2 — Cx'"~3 -+- . . . = o,

il faudra qu'elle soit formée du produit de n facteurs simples pris parmi les m facteurs simples de celle-ci; de sorte que comme le nombre des manières différentes de prendre n choses parmi un nombre de choses égal à m est exprimé, suivant la théorie des combinaisons, par la formule

m (m — i)(m— a). ..(m — ra-t-i)

il s'ensuit que l'équation proposée admettra un pareil nombre de diviseurs de la forme

xn — Mx"-' -+- Nx"~2 — . . . = o,

et qu'ainsi chaque coefficient M, N,... sera susceptible d'autant de valeurs différentes, et par conséquent devra être déterminé par une équation d'un degré marqué par la même formule.

9. Cette proposition est connue depuis longtemps des Géomètres, et l'on a coutume de la prouver par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire; mais il est facile devoir que cette preuve est sujette à quelques difficultés. Car, quoiqu'il soit démontré qu'une équation du degré m peut avoir autant de différents diviseurs du degré n qu'il y a de manières de combiner m choses n à n, et qu'en même temps il paraisse hors de doute que les coefficients analogues de ces différents diviseurs doivent être donnés par une même équation dont ils seront les racines, cependant il n'est pas évident que cette équation ne pourra avoir d'autres racines, puisqu'il arrive le plus souvent que les équations qu'on trouve pour la solution des Problèmes tant algébriques que géométriques renferment bien des racines inutiles, outre celles qui servent à la résolution cherchée.

C'est pourquoi il semble qu'on ne saurait, à proprement parler, conclure autre chose du raisonnement ci-dessus, sinon que l'équation qui doit donner la valeur de chaque coefficient du diviseur cherché ne peut être d'un degré moindre que celui qu'on a assigné, sans qu'on soit en droit de prononcer qu'elle ne peut pas être non plus d'un degré plus haut.