III

Si l'on joint cette objection à celles que M. d'Alembert a déjà proposées dans le premier volume de ses Opuscules, page 227, on conviendra aisément que la proposition dont il s'agit, sur le degré de l'équation par laquelle chaque coefficient M, N,... doit être déterminé, ne peut être admise sans une démonstration rigoureuse; mais nous nous contenterons ici de renvoyer pour cet objet à la Section IV de nos Réflexions sur la résolution des équations citées ci-dessus, où nous avons démontré cette proposition d'une manière qui ne laisse rien à désirer du côté de l'exactitude et de la généralité.

10. La question se réduit donc maintenant à voir si, en supposant que m soit un nombre quelconque pair donné, on peut toujours prendre le nombre n moindre que m, et tel, que le nombre

qu'on sait devoir être toujours entier, soit en même temps un nombre impair.

Il est d'abord visible que si m est un nombre impairement pair en sorte que m = 2«, i étant un nombre impair autre que l'unité, il n'y aura qu'à prendre n — 2, ce qui donnera la formule

laquelle, à cause de i et de 21 — 1 impairs, représentera nécessairement un nombre impair. Si m = 4«, en supposant toujours i impair, on fera n = 4, ce qui donnera la formule

4t(4t-i)(4i-a)(4i-3) i(4i — i)(ai — Q(4i — 3) 1.2.3.4 i-3

laquelle représentera nécessairement un nombre impair, à cause que i, [\i — 1, 21 — 1 et [\i "— 3 sont tous impairs.

On prouvera de même que, si m = 8i et qu'on prenne n = 8, on aura une formule qui ne donnera que des nombres impairs, et ainsi de suite

d'où l'on conclura, en général, que si m = i'i, i étant un nombre impair autre que l'unité, et qu'on prenne n = 2T , la formule

représentera nécessairement des nombres impairs.

En effet il est clair qu'elle deviendra clans ce cas, en écrivant le dénominateur à rebours,

2ri(2ri — i ) ( ir i — 2 ) ( ir i — 3 ) ( ir i — 4 ) • • • ( 2' ' — 2r -f- i )

2r(ar l)(2,2)(2r 3)(2r 4)...I

c'est-à-dire, en divisant les facteurs correspondants du numérateur et du dénominateur autant de fois par 2 qu'il est possible,

i ( 2r i — 1 ) ( 2r l i — 1 ) ( 2r i — 3 ) ( 2r~2 i — 1 ) . . . ( ir i — ir -+- 1 ) (2---i)(a— -i)(2'-3)(2-»-i)...i

où l'on voit que le numérateur et le dénominateur ne renferment plus que des facteurs impairs; de sorte que, la division faite, on aura nécessairement un quotient qui sera un nombre impair.

11. II est donc démontré que toute équation d'un degré pair iri [i étant un nombre quelconque impair autre que l'unité) peut être divisée par une équation du degré inférieur 2r, dont cbaque coefficient sera déterminé par une équation d'un degré impair; de sorte qu'on sera d'abord assuré qu'un quelconque de ces coefficients aura une valeur réelle, et qu'il ne restera plus qu'à prouver que les autres devront aussi avoir des valeurs réelles; car quoique chaque coefficient en particulier puisse avoir une valeur réelle, étant donné par une équation de degré impair, cependant on n'en saurait conclure que tous les coefficients auront à la fois des valeurs réelles, puisqu'il n'est pas démontré que les valeurs réelles que ces coefficients doivent avoir soient précisément celles qui se correspondent et qui peuvent avoir lieu en même temps.

Or nous avons déjà fait voir plus haut que, dès que l'un des coefficients est supposé connu, on peut toujours exprimer tous les autres par

des fonctions rationnelles de celui-là, à l'exception de quelques cas particuliers où il arrive que la détermination de ces coefficients demande encore la résolution d'une équation de deux ou de plusieurs dimensions; ainsi tout se réduit à déterminer à priori quels sont ces cas, et quel est le degré de l'équation qu'on a alors à résoudre.

12. Cette question dépend de celle dont nous avons donné la solution ailleurs [Réflexions sur la résolution des équations, Section IV, n° 100 (*)], et qui consiste à trouver la valeur d'une fonction quelconque des racines d'une équation donnée, lorsqu'on connaît déjà celle d'une autre fonction quelconque des mêmes racines. Car il est visible que les coefficients M, N,... du diviseur

x" — Mx—' + N«""! — Pxn~3 -+- . . . — o

sont des fonctions des racines de l'équation proposée

x'" — Ax"'~' -h Bxm-* — Cx""-* •+■ . . . = o,

et il est facile de conclure de ce que nous avons dit dans le n° 7, que le coefficient M en particulier sera égal à la somme de n quelconques des m racines de la proposée, que le coefficient N sera égal à la somme des produits deux à deux de ces n racines, que le coefficient P sera égal à la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite.

13. En appliquant donc à ce cas notre solution générale, on verra qu'on peut toujours exprimer par des fonctions rationnelles d'un quelconque des coefficients M, N, P, . . . la valeur de chacun des autres, excepté les seuls cas où, l'équation par laquelle ce coefficient-là doit être déterminé ayant des racines égales, on voudra prendre précisément une de ces racines pour sa valeur.

Alors chacun des autres coefficients devra nécessairement être déterminé par une équation dont le degré sera égal au nombre de ces racines égales, et dont les coefficients seront des fonctions rationnelles du même coefficient, qu'on suppose connu.

{* ) OEuvres de Lagrange, t. III, p. 3y4.

De là il s'ensuit :

i° Que si la valeur réelle que doit avoir nécessairement un quelconque .des coefficients M, N, P,..., dans le cas du n° 10, est une racine inégale de l'équation par laquelle ce coefficient doit être déterminé, on sera assuré que tous les autres coefficients auront aussi nécessairement des valeurs réelles;

2° Que si cette valeur est une racine égale de la même équation, alors pourvu que l'exposant de l'égalité soit impair, c'est-à-dire que ce soit une racine triple, ou quintuple, ou, etc., on sera aussi assuré que les autres coefficients auront des valeurs réelles, puisqu'ils dépendront d'équations de degrés impairs; mais il n'en serait pas de même si le degré de la multiplicité était pair.

14. Considérons, en général, une équation quelconque du degré p., laquelle ait v racines inégales, zs racines inégales entre elles, mais dont chacune en ait/? — i autres égales, p racines inégales entre elles, et dont chacune en ait r — i autres égales, et ainsi de suite, en sorte que l'on ait

fx = v -+ rsp + pr-h . . . .

On sait par la théorie des racines égales que l'équation proposée pourra toujours se décomposer, sans aucune extraction de racines, en différentes équations dont chacune renferme toutes les racines inégales du même ordre; c'est-à-dire en une équation du degré v qui ne renferme que les racines simples et inégales, en une équation du degré vs qui ne renferme que les racines inégales dont chacune se trouve^ fois dans la proposée, en une équation du degré p qui ne renferme que les racines inégales dont chacune se trouve r fois dans la proposée, et ainsi de suite.

Maintenant, si l'on suppose que l'exposant \j. soit un nombre quelconque impair, il faudra que la somme des nombres v, rzp, pr,... soit un nombre impair, et par conséquent il faudra qu'un quelconque de ces nombres soit impair; si v est impair, l'équation du degré v aura nécessairement une racine réelle, laquelle sera une racine inégale de l'équation proposée; si ?zp est impair il faudra que za etp soient l'un et l'autre

impairs; donc l'équation du degré ts aura nécessairement une racine réelle qui sera une racine égale de la proposée, dont l'exposant d'égalité sera/?, et par conséquent aussi impair; il en sera de même si pr est im-. pair, et ainsi de suite.

15. De là et de ce qu'on a démontré plus haut, il s'ensuit donc que toute équation du degré iri (i étant un nombre impair) pourra toujours avoir pour diviseur une équation du degré 2r dont les coefficients seront nécessairement des quantités réelles (11 et 13); de sorte qu'en divisant l'équation proposée par cette dernière on aura pour quotient une autre équation du degré 2r{i — i), laquelle aura aussi tous ses coefficients réels.

Or, comme i est supposé un nombre impair, i — i sera un nombre pair qu'on pourra représenter, en général, par isk (tétant un nombre impair) ; donc l'exposant 2' [i — 1) deviendra 2r+sk, et l'on pourra prouver de même que l'équation de ce degré pourra se décomposer de nouveau en deux autres équations réelles, l'une du degré 2r+s et l'autre du degré 2r^s(k — 1); et faisant k — 1 = 2'/ (/étant un nombre impair) cette dernière équation aura pour exposant le nombre 2r+s+t l, et pourra par conséquent se partager de nouveau en deux équations, l'une du degré 2r+M, l'autre du degré 2w+t(l — 1), et ainsi de suite.

De sorte que par cette méthode on pourra toujours décomposer toute équation d'un degré pair quelconque en autant d'équations réelles, dont les degrés soient marqués par des puissances de 2 , qu'il y aura de pareilles puissances dans le degré de l'équation proposée. Ainsi une équation du sixième degré pourra se décomposer en deux, l'une du second degré, l'autre du quatrième; une équation du douzième degré pourra se décomposer en deux, l'une du quatrième degré, l'autre du huitième, et ainsi du reste.

16. Il ne reste donc plus qu'à considérer les équations des degrés marqués par des puissances de 2. Il est facile de voir que dans ce cas la formule du n° 10 donnera toujours des nombres pairs, quelque nombre qu'on prenne pour n, au moins tant que n sera moindre que m, comme

il le faut; de sorte que la détermination des coefficients M, N, P, . . . des diviseurs de ces sortes d'équations dépendra toujours nécessairement d'une équation de degré pair, dans laquelle on ne pourra par conséquent s'assurer de l'existence d'une racine réelle, à moins que le dernier terme ne soit négatif (t).

Désignons, en général, l'exposant m de l'équation proposée par 2' , et supposons que l'exposant n du diviseur soit la moitié de celui-là, c'est-àdire égal à 2r'; en ce cas la formule du numéro cité deviendra, en disposant le dénominateur au rebours,

ar(ar ,)(2r 2 ) ( ?/ - 3). ■ . ( 2r - 2^' + I ) 2-»(2-.I)(3r-1 2)(2-.3)...I

c'est-à-dire, en divisant les facteurs correspondants du numérateur et du dénominateur autant de fois par 2 qu'il est possible,

où l'on voit que tous les facteurs du numérateur sont impairs à l'exception du premier qui est 2, et que tous ceux du dénominateur sont aussi impairs; d'où il s'ensuit que cette formule représentera toujours des nombres impairement pairs.

17. Cela posé, considérons l'équation par laquelle doit se déterminer le coefficient M; elle sera, comme on vient de le voir, d'un degré impairement pair, et aura pour racines toutes les différentes sommes possibles qu'on peut faire des racines de l'équation proposée en ne prenant à la fois qu'un nombre de ces racines qui soit la moitié du nombre total (12).

Qu'on fasse maintenant dans cette équation M = 1 A étant le

coefficient du second terme de l'équation proposée et u une nouvelle inconnue, on aura une transformée en u du même degré, dont les racines seront exprimées par A — 2M, c'est-à-dire qu'elles seront égales aux différents résidus qu'on aura en retranchant successivement de la somme totale des racines de la proposée, somme qui est égale à A, le double des

différentes sommes particulières qu'on peut faire de ces racines en ne les prenant qu'au nombre de la moitié; de sorte que les racines dont il s'agit ne seront autre chose que les différences entre la somme de la moitié du nombre des racines de la proposée et la somme de l'autre moitié, en prenant ces sommes de toutes les différentes manières possibles.

Par exemple, si l'équation proposée est du quatrième degré et a, par conséquent, quatre racines a, b, c, cl, on aura

A = a + 6-)-c-t-c?, et les valeurs de M seront

et ainsi des autres équations des degrés supérieurs.

18. De là il est d'abord facile de conclure que l'équation en u manquera de toutes les puissances impaires, puisqu'il est évident que chaque racine positive doit avoir nécessairement une racine négative égale; ce qu'on voit clairement dans l'Exemple précédent, où les quantités

sont les négatives des quantités

Donc, si l'on fait u* = t, l'équation en u s'abaissera à un degré moindre de la moitié, et comme on a prouvé que le degré de l'équation en u est pairement impair, il s'ensuit que le degré de l'équation en t sera nécessairement impair; de sorte que cette équation aura nécessairement une racine réelle, laquelle sera positive si son dernier terme est négatif, et négative s'il est positif (1). Or, pour que u, et par conséquent M, ait

donc les valeurs de

seront

une valeur réelle, il faut que celle de t soit réelle et positive; par conséquent la question est réduite à voir si le dernier terme de l'équation en t sera négatif; et comme le dernier terme de toute équation d'un degré impair pris avec un signe contraire est égal au produit de toutes les racines, tout consistera à voir si le produit de toutes les différentes valeurs de t est une quantité positive ou non.

19. Pour parvenir à ce but avec plus de facilité, considérons d'abord le cas où l'équation proposée est du quatrième degré, et dans lequel nous avons déjà vu que les différentes valeurs de u sont

il est clair que, comme les trois dernières quantités sont égales aux trois premières prises négativement, les différentes valeurs de u2 ou t seront seulement ces trois-ci

de sorte que le produit de ces trois valeurs sera égal au carré de la

quantité

et il ne s'agira plus que de voir si ce carré est toujours une quantité positive, quelles que soient les racines a, b, c, d. Il est d'abord clair que, si ces racines sont toutes réelles, la quantité précédente sera aussi toute réelle, en sorte que son carré sera nécessairement une quantité réelle positive; mais il peut n'en être pas de même s'il y a des racines imaginaires, d'autant que la forme des racines imaginaires est encore regardée comme inconnue.

20. M. Euler, ayant supposé pour plus de facilité le coefficient A du second terme de la proposée nul , a trouvé , à la place de la quantité précédente, celle-ci

qui, à cause de a -F- b -+- c + d = o, est égale à celle-là divisée par 8 ; et III. 63

il se contente ensuite de dire que ce produit est déterminable, comme on sait, par les quantités B, C, D, et qu'il sera par conséquent réel; mais, pour que cette conséquence soit légitime, il faut prouver qu'on peut déterminer ce produit par une expression rationnelle des mêmes quantités : c'est ce que M. Euler n'a point fait, du moins d'une manière directe et à priori.

Il est vrai que le carré

(a+ by{a-+ c;{a -t- cl)2

sera toujours une fonction rationnelle des coefficients B, C, D; mais la difficulté consiste précisément à démontrer que sa racine en sera une aussi.

Pour sentir davantage la force de cette objection, il n'y a qu'à considérer, par exemple, la quantité

il est certain que le carré de cette quantité peut s'exprimer par une fonction rationnelle des coefficients B, C, D; mais il n'en est pas ainsi de la quantité elle-même : en effet, on trouve pour la valeur du carré dont il s'agit l'expression

4!D3 - 23.42B2D'+ 42.32C2RD H- 42B<D - 4C2B3 — 33Cj,

laquelle n'est pas un carré en général; de sorte qu'on ne saurait en conclure que sa racine sera toujours une quantité réelle.

21. Le caractère, auquel on peut reconnaître à priori si une fonction proposée des racines d'une équation quelconque peut se déterminer par une expression rationnelle des coefficients de cette équation, consiste, comme nous l'avons démontré dans notre Mémoire sur les équations, en ce que cette fonction doit être telle, qu'elle ne change point de valeur, quelque permutation qu'on y fasse entre les racines dont elle est composée; ainsi il n'y a qu'à voir si cette condition a lieu ou non dans la

fonction

comme les trois racines b, c, d y entrent également, il est d'abord visible que les permutations qu'on pourrait faire entre ces racines ne produiraient aucun changement dans la fonction ; mais on ne peut pas dire tout à fait la même chose par rapport à la racine a, puisqu'elle n'est pas disposée à l'égard des autres comme celles-ci le sont entre elles. Voyons donc ce que donneront les échanges de a en b, en c, en d. En changeant a en b, les trois facteurs

se changent en ces trois-ci

par où l'on voit que le premier demeure le même, que le second devient le troisième avec un signe contraire, et que le troisième devient le second avec un signe contraire. On trouvera pareillement que, en changeant a en c ou en d, il y aura toujours un des trois facteurs qui demeurera le même, tandis que les deux autres se changeront l'un dans l'autre eu changeant en même temps de signes; d'où il est facile de conclure que le produit des trois facteurs demeurera toujours le même.

La circonstance qui fait que ce produit ne varie point, c'est que les facteurs qui se changent l'un dans l'autre, en changeant en même temps de signes, sont en nombre pair; car si les facteurs qui changent de signes étaient en nombre impair, alors il est facile de voir que le produit dont il s'agit conserverait à la vérité la même valeur absolue, mais en changeant de signe : c'est là la raison pourquoi la fonction dont on a parlé cidessus (20)

ne saurait être exprimée par les coefficients A, B, C, D d'une manière rationnelle; car en changeant, par exemple, a en b, le facteur a — b devient simplement négatif, les facteurs a — c, a — d se changent dans les facteurs b — c, b — d, et le dernier facteur c — d demeure le même; de

sorte que, puisqu'il y en a un qui change simplement de signe, un qui demeure tout à fait le même, et quatre dont deux se changent dans les deux autres, il s'ensuit que le produit total devra devenir négatif.

22. Il est facile maintenant d'appliquer le même raisonnement au cas où il y aura plus de quatre racines, et de s'assurer à priori que le dernier terme de la réduite en t sera toujours un carré avec le signe — . Supposons, par exemple, que les racines de l'équation proposée soient au nombre de six, savoir a, b, c, d, e, /(quoique à proprement parler nous n'ayons besoin de considérer ici que les équations dont les degrés sont des puissances de 2 , cependant nous prendrons le cas d'une équation du sixième degré, parce qu'il est plus simple que celui d'une équation du huitième, et qu'il peut servir à faire voir que la proposition est générale pour toutes les équations des degrés pairs), on verra aisément, par ce qui a été démontré plus haut, que le dernier terme de la réduite en t sera égal au carré du produit de ces dix quantités

a -t- b ■+- d — c — e — /, a -+- b -+- e — c — d — f, a -+- b + f — c — d — e, a -h c -h d — b — e — f, a -+- c -+- e — b — d — f, a + c H- /— b — d — e, a -1- d + e — b — c — f, a -+- d -+- f — b — c — e, a + e -hf — b — c — d,

pris avec un signe contraire; de sorte qu'il ne s'agira que de voir si ce produit demeure le même en faisant toutes les permutations possibles entre les six racines a, b, c, . . . ; auquel cas on sera assuré qu'il pourra être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients A, B, C,... de l'équation proposée.

Pour cela, je remarque d'abord que les dix quantités précédentes sont

telles, qu'elles renferment toutes les permutations possibles entre les cinq racines b, c, d, e, f, puisqu'elles ne sont autre chose que les différentes valeurs de la quantité

qui résultent de toutes les échanges possibles entre les cinq lettres b, c, d, e, f, la lettre a étant regardée comme fixe; d'où il s'ensuit qu'en faisant le produit de ces dix quantités on aura une fonction des racines a, b,c,... qui sera telle, qu'elle ne recevra aucun changement par les permutations des cinq racines b, c, d, e, f entre elles; de sorte qu'il suffira de considérer les résultats des échanges de la racine a dans les cinq autres; et comme les échanges de celles-ci entre elles ne produisent aucun changement clans la fonction dont il s'agit, il est clair qu'on aura le même résultat, soit qu'on change a en b, ou a en c, ou a en d, ou, etc.; par conséquent, il suffira de considérer une seule échange comme celle de a en b, et si elle ne fait point varier le produit des dix quantités ci-dessus, on sera assuré que ce produit sera déterminable par une fonction rationnelle des coefficients A, B, C,... de l'équation proposée.

Or, en changeant a en b, il est visible que les quatre premières quantités, où les lettres a et b se trouvent jointes avec le signe -+-, demeureront les mêmes , puisque a + b est la même chose que b -+- a, et que les six dernières, où les lettres a et b ont des signes différents, se changeront l'une dans l'autre en changeant en même temps de signes; d'où l'on conclura que le produit de toutes ces quantités demeurera nécessairement le même, puisque les facteurs qui changent de signes sont en nombre pair.

23. On considérera maintenant que, pour avoir les dix quantités qui sont les facteurs du produit en question, il n'y a qu'à ajouter successivement à la racine a les sommes des autres cinq racines prises deux à deux, et en retrancher en même temps les racines restantes; d'où il est d'abord facile de conclure que, si le nombre de toutes les racines était 2n, il faudrait, pour avoir les facteurs dont il s'agit, ajouter successivement à la racine a les sommes des autres 2n — i racines prises n — i à n — i, et

en retrancher en même temps les racines restantes; moyennant cjuoi le nombre de ces facteurs sera exprimé, comme il résulte de la théorie des combinaisons, par

(2/1 — i ) ( 2 « — 2.) (un— 3 ) . . . ( n -t- i )

Ensuite on considérera que, en changeant a en b, quelques-uns de ces facteurs demeurent les mêmes, tandis que les autres se changent entre eux en changeant en même temps de signes; de sorte que pour savoir le nombre de ces derniers il suffira de retrancher du nombre total celui des facteurs qui demeurent les mêmes en changeant a en b. Or il est visible que ces facteurs-ci se trouveront en ajoutant successivement à la somme a -\- b les différentes sommes des autres 271 — 2 racines prises n — 2 à n — 2, et retranchant en même temps les racines restantes; de sorte que le nombre de ces facteurs invariables sera exprimé par

donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura

(271 — 1 ) ( 2 w — 2 ) ( 2 71 — 3 ).-..( n -+- 1 ) (in — 2) (m — 3)...(7i-t-i)

ou bien, en réduisant au même dénominateur,

( 2 71 — 2 ) (in — 3 ) ( 2 n — 4 ) ■ • ■ n

pour l'expression du nombre des facteurs qui s'échangent entre eux en changeant en même temps de signes.

Ainsi la question est de voir si ce nombre sera toujours pair; or c'est ce qui est évident, car si l'on divise le haut et le bas de la fraction par 77 — 1, elle deviendra

mais la quantité

est toujours un nombre entier, puisque c'est le coefficient du {n— iyème terme d'un binôme élevé à la puissance in — 3; donc le double de ce nombre sera toujours nécessairement un nombre pair.

24. Nous venons donc de démontrer rigoureusement que, en considérant une équation du degré ir comme exactement divisible par une autre équation du degré zr~{ , le coefficient M du second terme de celle-ci sera nécessairement déterminé par une équation telle, qu'en y faisant

(A étant le coefficient du second terme de la proposée), et ensuite

lû = t,

il viendra une transformée en t d'un degré impair, et qui aura son dernier terme négatif en sorte que l'inconnue t aura toujours une valeur réelle positive.; moyennant quoi la valeur de u sera aussi réelle.

Donc, puisque M a nécessairement une valeur réelle, il s'ensuit (13) que tous les autres coefficients N, P, Q, . . . du diviseur en question auront aussi chacun une valeur réelle, à moins que la valeur réelle de M ne soit une racine multiple de l'équation en M; auquel cas il peut arriver que les valeurs des autres coefficients soient imaginaires, comme nous l'avons déjà remarqué plus haut.

Il est donc nécessaire d'examiner ce cas, et de voir comment il faudrait s'y prendre pour trouver alors un diviseur tout rationnel de l'équation proposée.

Je commence d'abord par remarquer que comme u = \jt, on aura

M = v ; d'où l'on voit que chaque valeur de t donnera deux valeurs de M, qui ne seront jamais égales, à moins que l'on n'ait t = o; de plus

il est clair que si toutes ces valeurs de t sont inégales, celles de M le seront aussi; de sorte que l'équation en M n'aura proprement de racines égales que dans deux cas, l'un où l'équation en t en aura elle-même d'égales, l'autre où l'équation en t aura une ou plusieurs racines égales à zéro.

Supposons d'abord que l'équation en t n'ait aucune racine égale à zéro, mais qu'elle en ait plusieurs égales entre elles; comme cette équation est d'un degré impair, on prouvera par un raisonnement semblable à celui du n° 14 qu'elle aura nécessairement une racine réelle inégale, ou égale d'un ordre d'égalité marqué par un nombre impair; d'où il est' facile de conclure que l'équation en M aura aussi nécessairement une pareille racine, et même deux, en sorte que cbacun des autres coefficients N, P, Q,... aura nécessairement une valeur réelle (13).

Ainsi, quelles que soient les racines de l'équation en t, pourvu qu'aucune d'elles ne soit nulle, on sera assuré que les coefficients du diviseur auront tous des valeurs réelles.

25. Il n'en est pas de même lorsque l'équation en t a une racine nulle, ce qui arrive quand son dernier terme se trouve égal à zéro. Dans ce cas il est clair que la racine t = o donnera dans l'équation en M deux racines

égales à — ; de sorte que chacun des autres coefficients N, P,... dépendra

nécessairement d'une équation du second degré qui pourra n'avoir aucune racine réelle; il est vrai que l'équation en / pourra avoir encore d'autres racines réelles, mais la difficulté consiste à prouver qu'elle en aura toujours de telles. En effet cette équation, étant divisée par t, ne montera plus qu'à un degré pair; de sorte qu'il faudrait démontrer, en général, que le dernier terme sera toujours négatif, ce qui d'ailleurs n'est pas vrai.

Pour donner un exemple de l'insuffisance de la méthode précédente dans le cas dont il s'agit, nous reprendrons celui du n° 6 où l'on propose de trouver un diviseur du second degré

x-— Mj -t- N — o

de l'équation générale du quatrième degré

x" — Ax3-±- Bx2 — Cx + D = o.

En substituant l'expression de N en M, et faisant ensuite

on trouve cette réduite en t

/3- (3 A2— 8B) P-h (3 A>-i6A2B h-i6B2+ i6AC - 64D) t— (A3- 4AB ■+- 8C)2 = o,

laquelle a, comme on'voit, son dernier terme toujours négatif. Maintenant, si l'on a

A3-4AB-t-8C = o,

il est clair que l'équation précédente aura d'abord la racine / = o,

laquelle donnant M = — on tombera dans le cas que l'on a déjà examiné

dans le numéro cité, et où l'autre coefficient N du diviseur

x2— Mx + N = o

dépendra d'une équation du second degré qui n'aura de racines réelles

que tant que 4D ne surpassera pas ( y- — B] ; de sorte que dans le cas où

le coefficient N sera imaginaire, et l'équation proposée du quatrième degré se trouvera par ce moyen décomposée en deux équations imaginaires du second degré, lesquelles seront

N' et N" étant les racines de l'équation

N2+ ('Ar-BN)N-i-D = o.

ni. 64

Pour avoir donc des facteurs tout réels il faudra dans ce. cas chercher une autre valeur de t; or l'équation en t étant toute divisée par t devient

t-~ (3A2— 8B)f-t-3A<- i6A2B + i6B2 + 16AC - 64 D = o,

ou bien, en substituant à la place de C sa valeur 77—^ — »

<2 — (3 A2— 8B)t-h (A2 — 4B)2-64D = o, dans laquelle on voit que le dernier terme sera positif si (A2-4B)2>64D;

de sorte qu'on ne peut pas être assuré, en général, que cette équation aura des racines réelles, à moins que l'on ne considère la condition qui est particulière aux équations du second degré.

26. Cependant si l'on observe que la condition (A2— 4B)2 >64D

est celle qui rend réelles les racines de l'équation en N ci-dessus, et que

la condition opposée

est celle qui rend le dernier terme de l'équation précédente en t, négatif,

on en pourra conclure d'abord qu'il est toujours possible d'avoir pour

les coefficients M et N des valeurs réelles.

En effet :

i° Soit

[p désignant une quantité positive), on prendra dans ce cas la racine t = o, laquelle donnera

,r A „ A2 B , Ju

M=— et N = — -ô-+-±if.

20 Soit

on prendra, dans ce cas, pour t la racine positive de l'équation

P — (3A2— 8B)* — p = o, et l'on aura (6)

M A±s/7 C-BM + AM'-M'

2 A — aM

27. Mais, pour pouvoir résoudre la difficulté dont il s'agit d'une manière générale et applicable aux équations de tous les degrés, il faut employer d'autres principes.

Reprenons pour cet effet l'équation proposée

xm — Ax'"-~ ' -I- Bx'"~'1 — C-r1"-3 -4- . . . — o,

où m = 2r, et considérons les deux facteurs

xn — Mxn-' -+- N«"-! — ¥x"-z -t-. . .= o, • x" — M'xn~l + N'x"~2 — V'x"-Z -+- . . . = o,

dont on suppose qu'elle soit formée, n étant égal à a'"-1 = — -, qu'on fasse, ce qui est permis,

P = I±JE, V>=tZ^-,

c'est-à-dire qu'on introduise a la place des coefficients indéterminés M, M', N, N', P, P',..., leurs sommes

et leurs différences

M — M' = p., N — N' = v, P — P' = ro,...,

et l'on trouvera (3) m, ou 2/* équations entre les m indéterminées a, [i, y,..., p., v, tsr,..., par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues.

Qu'on suppose maintenant

u = a \x -+- b y + c ro -h . . . ,

a, b, c,... étant des coefficients quelconques arbitraires, et qu'on introduise partout l'indéterminée m à la place d'une quelconque des indéterminées [j., v, 7S, . . . , par exemple à la place de p., en substituant

u — by — eus — . r. i-i . i ■

— au lieu de \±, on aura in équations entre les m inconnues a, |3, y,..., u, v, sr,..., d'où, éliminant les m — t inconnues «, |3, y,..., v, 37,..., il viendra une équation en m, qui sera du même degré et assujettie aux mêmes conditions que celle du n° 17, comme je vais lé démontrer.