III
et que q soit la valeur de y, on aura l'expression d'une fonction quelconque <l>(q), en mettant dans la formule (I) q à la place de p, y à la
place de x, - — — à la place de <p (y), et faisant ensuite y = i après les
(lifl'érentiations.
Donc, puisque q — y = — » on aura
( iL (-) = d, ( r) + ?(ar)^'(r) +"— ti?(ar)''\>'(r)
rlal '" a ix'1 d'y
! i d'cp {or.yf ty {y) i (f'oja/fil/'jj)
\ 2. 3. a3 c?j2 2.3-4-a4 dj3
où la variable y doit être supposée égale à i après toutes les difïérentiations.
18. Donc, comme it (y) = j ù'[y)dy, si l'on prend la fraction
et qu'on la développe suivant les puissances de z, ce qui donnera
(ju'ensuile on y change - en / dy, z e:i; n 'ii
3, et ainsi des autres puissances de z; et qu'après avoir exécuté les différentiations indiquées de cette manière on fasse y= i, on aura
la valeur de à ( — u x étant une des racines de l'équation (H), y. — x -t- <p.r = o.
Ainsi l'on pourra faire en sorte que la série qui représente la valeur de é ( — ) soit ordonnée par rapport à telle lettre qu'on voudra; car pour cela il n'y aura qu'à ordonner, par rapport à cette même lettre, la série
résultante de la fraction - — ; -t comme on va le voir dans les
G ( tXX)
Exemples suivants.
19. Exemple V. — Reprenons l'équation générale de l'Exemple IV,
savoir
o = a — bx -+- ex2 — dx2- 4- ex* — fx'> ■+■ . . . ,
et comparant avec l'équation (H), on aura, après avoir divisé par b,
a , , ex2 — dx% 4- ex* — fx% 4- . . .
Donc
o(ar) car- da2 y3 ed?y* faAyi
de sorte que la fraction
o ( ay,
ca y- da2 y3 eo? r'
Réduisons cette fraction en série, et supposons d'abord que la série soil ordonnée par rapport à la lettre b, il est clair qu'à cause que les dimensions de j et t sont partout les mêmes, cette série sera de la forme suivante
Pj 2 Qj* Rj^ Sj5 + b2 ' 6= è< "" b> '
de sorte qu'en multipliant en croix et comparant les termes, on trouvera
P =acz,
Q = a'dz,
R — a3ez ■+- aczP,
S == a'fz -+- a2dzP 4- aczQ,
T = a?gz 4- «3e2 P 4- a2dz Q-+- acz R,
Or, si l'on développe ces valeurs en les ordonnant par rapport aux puis-
sances de z, il est facile de voir qu'elles seront exprimées de cette ni;
nière
P =kz, Q = Bz,
R = Cz + C, z\ S =Dz + D,z2,
T =Ez + E, z- -+- E, z\
et l'on trouvera
A == ac,
C = a3e, C, = ac\,
D^a'f, Dl = a2dA -+- acB,
E = «5g-, E, =a3e A + a2û?B -+- acC, E2 = acC,
Donc, on aura,
<J/(r) dv'(r) A B C-t-C,2
I zy(«j) I z 62 J f U ; J'7^'' 6< J ' u
Donc, changeant - en \dy, z en - -r->;-- (18), on aura
+ %rVlr) + ji
2 djr
i c?[,r6+'(.r)] , E, i rf»|
i dy ' bs 2.3
dy1
où il, n'y aura plus qu'à faire y = i, après avoir exécuté les différenliations qui ne sont qu'indiquées.
Or, comme les coefficients A, B, C,... ne renferment point la lettre b, il est clair que cette série sera ordonnée relativement aux puissances négatives de b.
Si l'on fait <l> (y) —y"1, ce qui donne è' (y) = mym~*, on aura
b'"x'" mk ma 2 2
mE + '» ( m -+- 5 ) E m|«i+|)(m + 5) £^
Et si l'on fait d- (j) = logj', d'où d/ (y) = —, on aura bx
20. Les séries que nous venons de trouver sont ordonnées relativement aux puissances de b; si l'on voulait qu'elles le fussent relativement à celles de a, il n'y aura qu'à ordonner de cette manière la série résultante de la fraction
" Si + — &—
lr> ' ft<
c» ra «(a2 r3 ea3 y*
f,, ■ " fr 64 •■■
Or, comme chaque puissance de a y est toujours multipliée par une pareille puissance de £ •> il est clair que la série aura cette forme
on trouvera
czy
P czr
dz y
p dzr
ez y
=R°Jf
Or, en développant ces valeurs suivant les dimensions de -j-î elles se trouveront exprimées de cette manière
De sorte ([ue l'on aura
B, =cA,
C, = — tfA-wB,
D, = eA — dB + cC,
C2 = cB„
D2= — dB, -t-cC,
D3 = cCî;
Donc, on aura,
<V(r) +'(r) Ar! ... .
r, £.9Çfizin z
'Cj« ^ C, zj5 C,*'.»
D'où l'on déduira (18) la formule générale
+ « xi y' y {y)
2|~b ,',„ . , b. t JLr^Tr)]!
, rc 4 , „ , , c, . ^[r^'(.r)l , c2 i rf'[r^'(r)] 1
rD . .,, . D, i rf[y^
6' 2.3 dfj'
.3.4 rfj3
où il faudra faire y = 1.
Soient, par exemple,
on trouvera
r»?B m(m + 3) B, 1 «= [~/T~ 2^ JF
|" m C m ( m + 4 ) C, w(/w + 4)(w + 5)C;"[ a3 l~h~ 2~P 2T37P Ji3
["F " 262 h 2T3TF
Donc, si m = i, on aura, en multipliant par j,
TF
rB 4B,|a:
+ Lt + ifJf
Et si l'on fait ty ( y) = logj, on trouvera, à cause de. logy = o lorsque
bx
og —
+ ( f + If
+ U + ÏF
