Corollaire II. — Si l'on prend les trois équations

x'i + yn -\- z'Ç = (3, xx' -h y y' -+- zz' = b", xx" -t- yy"+ zz"= b',

et qu'on en tire les valeurs des quantités oc, y, z, on aura par les formules connues

[3 ( y'z" — z'y") -+- b'(nz' — 'Çy' ) + b'\ty" — r,z" ) ^ X(y'z" — z'y") -+- n (z'x" — x'z") -+- Ç(x'y" — y' oc")

${z'x" — x'z") -f- b'('Çx' — \z') -h b"(Xz" — tx" ) £{y'z" — z'y") ■+■ 'fi {z'x"— x'z") + £,{x'y" — y'x")'' fi(x'y" — y'x") -+- b' ('Xy' — fi oc1) -+- b" (-nx" — £y") ~~ X ( T'z" ~ Z'X" ) + 'n{z'x" — x'z" ) -+- Ç ( x' y" — y'x" ) '

donc, faisant les substitutions du numéro précédent et supposant, poui abréger,

-bb'

-bb"

-bb'

-bb"

pç + (a"6"

-bb"

4. Corollaire III. — Si l'on fait varier les quantités x', y', z',- x"', y", z", en regardant comme constantes les quantités a', a" et b, et qu'on

suppose

x"dx'-+- y" dy'-\- z"dz' = dus,

\dx' -+- -f\dy' -+- C,dz' = dé, \dx" -h-ndy"-+- t,dz"=dy,

on aura, eu vertu des équations du Corollaire I, ces six autres-ci

x'dx' -+- y'dy' -+- z'dz' = o, x" dx" '-+- y"dy" + z"dz"= o, i d\ -+- ndfj -i-'Çd'Ç = o, x'dx" -+■ y'dy" -h s' dz" = — dm, x'd\ -\-y'd-n -hz'dÇ—— dé, x"d\ -t- y"d-r\ -+- z"d'Ç =■ — do,

et à l'aide de ces neuf équations on pourra déterminer les neuf différentielles d'%, d-(\, d'Ç, dx', dy', dz', dx", dy" , dz" par des opérations et des réductions semblables à celles du numéro précédent.

Il n'y aura pour cet effet qu'à changer, clans les expressions de x, y, z, les quantités |3, b', b", d'abord en o, — dm, — dé, ensuite en dé, dzs, o, et enfin en dm, o, — d-%, et l'on aura

, x'(bda> — a" dé) -t- x"(bdé — a'dw )

' , y' [b da — a" dé ) -+- y" [bdé — a'dw ) dt\ = - ■ : ! —î

, z'(bdq — a" dé) -+- z"{bd<h — a'dw)

ai, = ■ )

, , \dé — ( bx' — a'x" ) dtn

dy' ■ =

■r\ dé — { by' — a' y" ) dxn

dz'

'Çdé — (bz' — a'z")djs

dx

„ \dy — (a"xr — bx")dm

dy dz"

„ ndy — ( a" y' — by" ) drs

[ a"z' — bz" ) dm

Si l'on différence maintenant les valeurs de ce, y, z du Corollaire précédent, en supposant aussi constantes les quantités ]3, b', b", qu'on y substitue ensuite les valeurs de d%, do, dZ, dx', dy', dz' , . . . qu'on vient de trouver, et qu'on fasse, pour abréger,

</$ = bd'jf — a" dé, dW = bdé ~ a'dy,

dx

— £(b'dW + b"d$) -h x1 {fid® — <xb'djss) + x'

(Ç>dW + <xb"dm)

dy =

— t){b'dW + b"d®) -\-y'{$d$ — <xb'dzs) -+-y'

'{Ç>dxY+<x.b"dTs)

or — Ç{b'dW-i-b"d®) + z'(Ç>d$ — txb'dw) + z'

{fidW + *b"dm)

Et, si l'on substitue ces valeurs ainsi que celles de x, y, z dans ces expressions xdy — ydx, zdx — xdz, ydz — zdy, on aura, en employant les réductions du n° 2,

xdy — ydx

${a"b"— bb')dW — p(a'b' — bb")d$-+ x (a'6'2 + a"b"2— ibb'b")dm

a3 t, (6 (32 -1- ab'b") d$ -4- [a" (32 -(- xb'2) dW -+- a(3(a"6"

— bb')dm

„ (J(32 H- <xb'b")dW -+- {a1 (32 + ab"2) d$ — a(3(a'6'

— bb") dvs

z dx — xdz

Ç>(a"b"— bb' )dW — fi(a'b' — bb")d$ -+- a{a'b'2 + a"b"2 — •zbb'b")dœ

as

■ , (bfi2 + ab'b")d§ -h (a"Ç>2 -h <xb'2)dW -h-oc${a"b"— bb')d&

, (b&2-h <xb'b")dW + (a'Q>2 + ab"2)d$ - a(3(a'6'— bb")dm

ydz — zdy

(3 ( a"b"— bb')dW — (3 {a'b1 — bb")d® -4- a(a'b'2 -4- a"b"2 — zbb'b") dm

, (bp + <y.b'b")d<& + {a"Ç>2-+- acb'2)d'V + <xfi{a"b" — bb')dm

et?

(b S2 + ab' b" \ dW -4- («' 82 + xb"2) d® — xâ(a'b' — bb")dm

xs

5. Remarque I. — Si l'on regarde les trois quantités x, y, z comme les coordonnées rectangles d'un point M rapporté à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillement les quantités oc', y', z' comme les coordonnées rectangles d'un autre point M' rapporté aux mêmes axes, et enfin les quantités ce", y", z" comme les coordonnées rectangles d'un troisième point M" rapporté aussi à ces trois axes, il est visible que les quantités a, a', a", que nous avons supposées égales à

seront les carrés des distances des points M, M', M" au point commun d'intersection des trois axes, lequel nous nommerons simplement le centre des coordonnées; et il est facile de voir de plus que les trois quantités

a -h a' — 2b", a ■+- a"— ib' , a' -4- a" — ib,

lesquelles, suivant nos hypothèses, sont égales à

exprimeront les carrés des distances entre les points M, M', entre les points M, M" et entre les points M', M"; de sorte que, nommant h", h', h les carrés de ces distances, on aura

Or si l'on nomme s, i , s" les angles formés au centre des coordonnées par les rayons. \ja' , \/aTl , par les rayons y/a, y/af et par les rayons y/a, \'a", on aura, par la considération des triangles dont les côtés sont y/af, y/a", y/h, ou y/a, y/a", yj h' , ou y/a, y/a', y/h", on aura, dis-je, ces valeurs de h, h ', h"

h = d -+- a" — 2 ^/«Vcose,

h' = a -ha" — 2 \jaa" cose',

/(":= a ;. -+- d — a y/ ad coss"; donc

6 = y/«'«"cose, h' -— y/««"cose', b" = \jad cose".

D'où il s'ensuit que si l'on a b = o, b' = o, b" = o, les trois rayons y/a, \/a', y/â" feront nécessairement entre eux des angles droits.

Imaginons maintenant une pyramide triangulaire qui ait ses quatre angles, l'un au centre des coordonnées, les autres aux points M, M', M", il n'est pas difficile de prouver que la solidité de cette pyramide sera exprimée par les coordonnées x, y, z, x , y', z',. .. de cette manière

z{x'y" — y' as") -\- z' {yx" — xy") -+- z"(xy' — yx' )

''est-à-dire par la formule

par conséquent (2) cette solidité sera égale à 8; d'où l'on voit que la

quantité |3 n'est autre chose que la pyramide dont il s'agit prise six fois.

Ainsi cette quantité sera nulle toutes les fois que la pyramide en ques-