PROBLÈME DU MOUVEMENT DE ROTATION
D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE qui n'est animé par aucune force accélératrice.
(Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1773.)
Ce Problème, l'un des plus curieux et des plus difficiles de la Mécanique, a déjà été résolu par M. Euler dans les Mémoires de cette Académie pour l'année 1758, et dans le tome III de sa Mécanique. M. d'Alembert l'a résolu aussi dans ses Opuscules. Les solutions de ces deux grands Géomètres sont fort différentes quant à la méthode, mais elles sont fondées l'une et l'autre sur la considération mécanique de la rotation du corps autour d'un axe mobile, et elles supposent qu'on connaisse la position de ses trois axes de rotation uniforme; ce qui exige la résolution d'une équation cubique. Cependant, à considérer le Problème en lui-même, il semble qu'on devrait pouvoir le résoudre directement et indépendamment des propriétés des axes de rotation, propriétés dont la démonstration est assez difficile, et qui devraient d'ailleurs être plutôt des conséquences de la solution même que les fondements de cette solution. En effet, si l'on imagine un système d'un nombre indéfini de corps considérés comme des points et liés ensemble de manière que leurs distances mutuelles restent toujours les mêmes, et qu'on cherche le mouvement de ce système après qu'il aura reçu une impulsion quelconque,
c'est une question qui ne dépend que des principes ordinaires de la Dynamique, et qui ne demande d'autres secours que ceux que l'Analyse elle-même peut fournir.
J'ai donc cru que ce serait un travail avantageux aux progrès de l'une et de l'autre de ces deux sciences que de chercher une solution tout à fait directe et purement analytique de la question dont il s'agit; c'est l'objet que je me suis proposé de remplir dans ce Mémoire; les difficultés qu'il présente m'ont arrêté longtemps, mais enfin j'ai trouvé moyen de les surmonter par une méthode assez singulière et entièrement nouvelle, qui me paraît digne de l'attention des Géomètres.
Le mérite de ma solution, si elle en a quelqu'un, consiste donc uniquement dans l'Analyse que j'y emploie, et qui renferme différents artifices de calcul assez remarquables, ainsi que plusieurs formules nouvelles et utiles dans bien des cas; c'est par cette raison surtout que j'espère qu'on me pardonnera d'avoir entrepris de traiter un sujet qui a déjà été si savammemt discuté par deux des premiers Géomètres de ce siècle. D'ailleurs mes recherches n'ont rien de commun avec les leurs que le Problème qui en fait l'objet; et c'est toujours contribuer à l'avancement des Mathématiques que de montrer comment on peut résoudre les mêmes questions et parvenir aux mêmes résultats par des voies très-différentes; les méthodes se prêtent par ce moyen un jour mutuel et en acquièrent souvent un plus grand degré d'évidence et de généralité.
Lemme.
1 . Soient neuf quantités quelconques x, y, s, x' , y', z', x" , y", z",je dis qu'on aura cette équation identique
(x y' z" -\- y z' x" -\- zx'y" — x z' y" — yx'z" — zy'x" ,"-
■+■ i(xx' -\~ y y' ■+- zz')(xx" ■+- y y" -+- zz") '• x'x" -t- y' y" -t- z'z" i
— (x'2-+- y'2 -+- z'2) [xx" -\- y y" -t- zz" f
— {x"2 -t- y"2 -4- z"2) (xx' -h y y' -t- zz' )2.
2. Corollaire 1. — Donc, si l'on a entre les neuf quantités précédentes ces six équations
x- -+- y2 -h z2 — a, x'x"+y'y"-r- z'z"= b, x'2 ■+- y'2 -+- z'2 = a' , xx" -\- y y" -+- zz" = b' , x"2 -t- y"2 -+- z"2 = a" , xx' -h y y' -+- zz' = b" ,
et qu'on fasse, pour abréger,
(3 = sjaa! a!' -\- i.bb' b" — ab2 — a! b'1 — a" b"2 , on aura
x\ + yn -+- z'Ç = (3.
On aura de plus les équations identiques suivantes
x' X -+- y' y) -+- z' Ç = o, x" \ -+- y"-/) -t- z" 'Ç = o, £2 + vr + Ç2 = a' a" — b2, y' 'Ç — z' '•/) = bx' — a'x", y" 'Ç — z"y\ = a!' x' — bx", z'X — x''C = by' — a' y", z"\ — x"Ç = a" y' — by" ' , x 'fi — y'% — bz' — a'z", x"-r\ — y"\ = a!' z' — bz" ,
qui sont très-faciles à vérifier par le calcul.
