Remarque III. — Si dans les équations du n° 2 on suppose

de la on aura (3;

a = a = a = i b = b' = b" = o, 3 = i et « = i ;

savoir

et l'on trouvera de même, par la simple analogie,

x'=y"z — z"y> y' =: z"x — x" z, z' = x" y — y"x, x"=yz' — zy' , y"=zx' — xz' , z"=xy' — yx' '.

Et si l'on multiplie ces équations respectivement para;, j, ;, os', y', z',..., et qu'on les ajoute ensemble trois à trois, on aura, en vertu du Lemme, ces nouvelles formules

x7 -+- x1'2 -+- z"-= i, xy -+- x'y' ■+- x" y"—, o,

y7 ■+" y'1 + y"2 — ' > xz •+■ x ' z' + x"z" = °>

z2 + z'2 -+■ z"2 = i, yz -hy'z1 -\-y"z" = o,

qui pourront aussi nous être utiles dans la suite.

Au reste, si l'on voulait dans cette hypothèse résoudre les six équations du n° 2, c'est-à-dire déterminer six des neuf quantités ce, y, z, x', y', z',... par les trois autres, on y parviendrait aisément à l'aide des formules précédentes; car supposons que les trois données soient x, y, x', on aura d'abord par la première équation du n° 2

z = v/i — x* — y2, ensuite la première des équations trouvées en dernier lieu donnera

Connaissant ainsi les cinq quantités x, y, z, x', x", on trouvera les quatre autres à l'aide des équations

z = x'y" — y'x", . y = z' x" — x'z", xy -+- x'y' -+- x" y" = o, xz -y- x' z' -+- x" z" = o, lesquelles donnent

J x'2-hx"2 x'2 -h x"2

Problème.

8. Déterminer le mouvement d'un corps de figure quelconque qui n'est animé par aucune force accélératrice, et qui est seulement retenu par un de ses points, autour duquel il peut d'ailleurs tourner dans tous les sens.

Solution. — Je considère le corps proposé comme l'assemblage d'une infinité de corpuscules ou points massifs unis ensemble de manière qu'ils gardent toujours nécessairement entre eux les mêmes dislances; et pour connaître le mouvement de ce système, j'imagine trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, qui passent par le point du corps qu'on suppose demeurer immobile, et auxquels je rapporte la position de chaque particule à m du corps par le moyen de trois coordonnées x, y, z parallèles à ces mêmes axes. J'aurai par les principes de mécanique, à cause que le système est supposé libre autour d'un point fixe, et qu'il n'est d'ailleurs sollicité par aucune force étrangère, j'aurai, dis-je, sur-le-champ ces trois équations

(i) Ji{X(!r-^dx)ônl=A,

V^ / zdx — xdz\ ^

(3) 2,{ — jt — )°'» = C>

auxquelles on peut joindre cette quatrième ^ (dx--h dr2 + dz2\ .

Dans ces équations les quantités A, B, C, D sont des constantes arbitraires dépendantes de l'état initial du corps, dt est l'élément du temps, et ^ est le signe d'intégration relativement aux différentes particules &m du corps.

Les trois premières équations résultent de ce principe connu que : dans tout système de corps qui agissent les uns sur les autres d'une ma-

nière quelconque, et qui sont de plus, si l'on veut, animés par des forces tendantes à un point fixe, ou assujettis de quelque manière que ce soit à se mouvoir autour d'un tel poiut, la somme des différentes aires ou secteurs que chaque corps décrit relativement à un plan fixe quelconque, multipliés chacun par la masse du* corps qui le décrit, est toujours proportionnelle au temps; de sorte que la somme des produits des aires élémentaires par leurs masses respectives, divisée par l'élément du temps, est nécessairement une quantité constante. Ce principe est facile à démontrer dans tous les cas, mais surtout dans le cas présent, où il suffit de considérer que la somme des moments de toutes les forces

—r-dm, —r-ûm, —r-om dp ' dt- dt1

par rapport à un axe quelconque doit être nulle, ce qui donne immédiatement les trois équations

dont les trois premières équations ci-dessus ne sont que les intégrales.

A l'égard de la quatrième équation, elle renferme le principe trèsconnu de la conservation des forces vives; on pourrait la déduire, dans le cas présent, des trois précédentes à l'aide des différentiations et d'une nouvelle intégration, comme nous le ferons voir plus bas; mais puisqu'elle présente une intégrale toute trouvée, nous nous en servirons pour simplifier notre solution. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer le mouvement du corps par le moyen de ces équations, et c'est dans cette détermination que consiste uniquement le mérite de ma solution, si elle en a quelqu'un.

Il est clair, par la dernière Remarque, que les formules trouvées dans

df-

dt-

om = o,

les nos 2 et suivants s'appliquent naturellement au Problème dont il s'agit. Pour cela il n'y a qu'à prendre dans l'intérieur du corps deux points quelconques M' et M", pour lesquels les coordonnées soient x\ y', z', x", y", z"; et comme la position de ces points est à volonté, il sera bon de les prendre tels que leurs distances au point fixe, qui est en même temps le centre des coordonnées, soient toutes deux égales à x , et que de plus les rayons menés de ce centre aux mêmes points fassent entre eux un angle droit; on aura de cette manière (5)

a' = i , a" = i , e = ç)0°, donc (3)