FH 4- GM
A ' FG-t-HN
(il ne faut pas confondre ces quantités A, B, G, a, b, c avec celles que nous avons dénotées ailleurs par les mêmes lettres), on trouvera les combinaisons suivantes
kf -+■ af + bf" = af, Bf + af + cf" = af , G/" + bf + cf = af", Ag-hag' + bg"=pg, Bg'+ag + cg"=fig', Cg" + bg + cg' = Ç>g" , Ah H- ah' -+- bh" = y h, Bh' + ah -+- ch" = y h', Ch" + bh -+■ cli' = y h".
Des deux premières de ces équations on tire
,, (A — <x)c — ab , (A — a)(B — oc) — a2
* ~ (B — oc) b — ac *' * ' (B — «)6 — ac *'
et ces valeurs étant substituées dans la troisième on aura, après avoir divisé par /et fait disparaître les fractions, cette équation en a.
(a — A) (a — B)(a — C) — c-{oc — A) — A3 (a — B) — à1 {a — C) — iabc = o.
Si l'on traite de même les équations suivantes, on en tire cette autre équation en [i
i (3 — A) ((3 - B) ( (3 - C) — c2 ((3 - A) - è2('(3 — B) — a2((3 — C ) - iabc = o.
Et les trois dernières équations donneront pareillement cette équation en y
(y — A) (y — B)(y — C) — c2(y— A) — bHy — B) — a2 (y — C) — 2«6c = o.
D'où il est facile de conclure que les trois quantités a, fi, y seront les racines de cette équation du troisième degré
(p — A)(p — B)(p — C) — c2(p — A) — b-(p — B)— a2(p — C) — iabc = o,
savoir
p3 — ( A + B -+- C ) p2 -+- ( AB + AC -+- BC — a2 — b' — c1) p
— ABC + c2A -+- 62B -i- «2C — iabc — o.
Or cette équation, étant d'un degré impair, aura nécessairement une racine réelle; mais je vais démontrer qu'elle les aura par cela même toutes trois réelles.
Pour cet effet je remarque que si l'on prend la racine réelle de l'équa-
f f" tion dont il s'agit pour «, les deux quantités y ety seront nécessairement réelles, ce qui est évident par les valeurs ci-dessus de ces quantités;
et je vais prouver qu'alors les quantités s> §, ainsi que j, y- seront
réelles aussi; après quoi notre proposition sera démontrée, parce qu'on
a, par la quatrième des équations ci-dessus,
et par la septième
h' L h" ' h li
Qu'on multiplie la première des mêmes équations par la quatrième, la deuxième par la cinquième, la troisième par la sixième, et qu'on ajoute ces trois produits ensemble, on aura (à cause de fg -+ f 'g' H- f" g" == o par les formules du n° 7) cette équation
( A/ -+- af + 6/" ) ( Ag + ag' •+- 6g" ) + (B/' + a/ + c/") (Bg' + ag + cg" ) + (C/"+ 6/ + cf ) (Cg" + ig + cg' ) = o,
c'est-à-dire en divisant ^av fg,
+ Cf
On trouvera de même, en ajoutant ensemble les produits de la première par la septième, de la deuxième par la huitième et de la troisième par la neuvième, et ayant attention que fh -\-f'h' -hf'h" = o, on trouvera, dis-je, celle-ci
( A/ -l- af -+- bf" ) ( A h -f- ah' + bh' ) -f- ( B/' -+- af H- cf" ) ( B A' -+- a/« + c/t" ) -t- (C/" -i- 6/ + c/' ) (C/i"-4- i/( + c/«' ) = o,
mais on aura par les formules du n° 7 appliquées au cas présent
h=f'g"-g'f"> h'=f"'g — g"f h"=fg'-gf;
donc si l'on substitue ces valeurs dans l'équation précédente, et qu'on la
DE ROTATION D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE. 005 divise par/2 g, elle deviendra
B7+w£)Kf-fM7F-^F)+<F-£)]
cf— f)Kf-£H(ï-ÏM£-f)]=»-
On a donc ainsi deux équations linéaires entre les deux inconnues ^-,
^-5 de sorte que les valeurs qu'on trouvera pour ces inconnues seront
nécessairement réelles.
Enfin on aura
fs' ~ fs
h - fs"
fs
fs" fs
fs" fs
par conséquent les valeurs de -t- et de t- seront aussi réelles. II s'ensuit de la démonstration précédente que :
Toute équation du troisième degré réductible à la forme
x3— (A -t- B -4- C)x'!-h (,ÀB -+- AC -hBC — a2— b2 — c2)x
— ABC + c2A -f- b2B -t- a2C - ictbc = o
a nécessairement trois racines réelles, quelles que soient les quantités A , B, C, a, b, c, pourvu seulement qu'elles soient réelles.
Comme ce Théorème est assez remarquable, il serait utile d'en chercher une démonstration directe; mais ce n'est pas ici le lieu de nous occuper de cet objet.
Quant aux valeurs de /,/', /", comme on doit avoir par les formules du n° 7
il n'y aura qu'à substituer dans cette équation les valeurs de /' et de /"
trouvées ci-dessus, et l'on en tirera d'abord celle de/, qui sera
■ ( B — a ) b — ac
ensuite on aura
„, (A — «) c — ai
v/[(B - ce) b - «c]2 + [(A — a) c — ai]2 -1- [(A — a) (B — a) — a2] a2— (A — «)(B — a)
y/[(B — a) 6 — ae]2 + [( A — a) c — abf -+- ['(A — a) (B - a) — a2]2
On trouvera de même les valeurs de g, g', g" et de h, h', h"; et pour cela il n'y aura qu'à changer dans les expressions précédentes a en |3 pour celles de g, g', g", et a en y pour celles de h, h', h".
Ainsi les douze quantités indéterminées/, g, h, /', g', h', /", g", h", a, |3, -y seront connues moyennant la résolution d'une seule équation du troisième degré, et elles seront nécessairement toutes réelles.
Maintenant, si l'on fait, pour abréger,
VF = gl ■+- §•>• ■+■ g-"v, $=/(}>+ A'p. + k"v,
nos deux équations à résoudre sero'nt réduites à cette forme
«n2-h(3M:/2+y<l3-'=E2, d'où l'on tire facilement
Or les trois équations ci-dessus étant ajoutées ensemble, après avoir été multipliées respectivement par/ g, h, par/, g', A' et par/", g", //", donnent sur-le-champ, en vertu des formules du n° 2 (a, ci', a" étant ici supposées égales à i, et b, b', b" supposées égales à zéro, comme ou l'a
