GH + FL LN-G

A 'A '" leurs valeurs

*ff + Pgg' + yhh', «/" + (3g-'2 + y h", ...,

et qu'on y introduise les quantités n , W, $, on trouvera ^^■«/n+PgrY + yA*.

De là on aura, après les substitutions,

.î-4=(.-»W-i'fln

4- (P- y) (A"g-' -A'g'VF<ï>; c'est-à-dire par les formules du n° 7

" W ~ ** S =(a p) /inxF+ (y ~ * sm + ^~ y)/li''*;

de sorte que l'équation (i3) de la solution ci-dessus deviendra fdïL-hgdW + hd®

( (3 — y ) y VF «> H- (y — a)g-n$+(a — P)An¥ Substituons au lieu de d W et rf<3> leurs valeurs tirées des équations

1 + ?' + $== h\ *D? ^ °>V -+- y$2 = E2, lesquelles donnent

et l'équation dont il s'agit deviendra après les réductions

c'est-à-dire en mettant pour W et$ leurs valeurs en n trouvées plus haut,

S/^2- E2- (P - <x)W] [- yt--h E2 + (y- a) II2]

équation dont le premier membre n'est intégrable, en général, que par la rectification des sections coniques.

10. Remarque II. — Nous avons trouvé dans la solution du Problème précédent que la valeur de

dx* -+- dy% ■+■ dz-,

c'est-à-dire le carré du petit espace qu'une particule quelconque du corps parcourt dans l'instant dl, est exprimée par la formule

(pdy -+- qd^i)2 -+- { rd<\> -h pais)2 -+- (qd& — rdy)-,

p, q, r étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule dans l'intérieur du corps; donc toute particule ou point du corps dont les coordonnées seront telles, qu'on ait à la fois

pdy -t- qd\\i = o, rdty -+- pdw = o, qdw — rdw = o,

sera en repos pendant un instant; or ces trois équations donnent

q du r drs

d'où il est aisé de conclure qu'il y aura nécessairement dans le corps, non pas un seul point immobile à chaque instant, mais une suite de points formant une ligne droite, qui sera par conséquent l'axe de rotalion instantanée du corps; et il est clair que cet axe fera avec les trois

axes des coordonnées p, q, r des angles p, g, w tels, que p d<b

Jp* + q'+r*

Jd<])'+ do2 ■+- dm1

V>2-wy2+/-:

\Jd^- + df-h dm1

r rnsM —

dis

\j p- + q'1 -+- r" yV ^ "+" ^?2 "+" ^

on bien, en mettant pour dû, do, dzs leurs valeurs en II, M , <I>, trouvées dans la solution ci-dessus,

COSO = J ° r — ' .

/"'«n+fl-W+A'y*

j yS$!

Maintenant il est clair que, comme les quantités II, W et 'i* sont, en général, des fonctions du temps t, la position de l'axe de rotation dont il s'agit variera continuellement, à moins que ces trois quantités ne gardent entre elles des rapports constants; or comme on a (par la Remarque précédente)

lylS-V

il est clair que cette quantité ne peut être, constante à moins que la quantité n ne soit elle-même constante; et dans ce cas les deux autres quantités W et <I> seront aussi nécessairement constantes. Voyons donc les conditions qui peuvent rendre II égale à une constante.

Si l'on considère l'équation entre II et l, trouvée à la fin de la Remarque précédente, on verra aisément que la quantité II sera constante, c'est-à-dire que la différentielle dW sera nulle si le dénominateur est nul en même temps; mais pour que le temps t puisse être quelconque, il faudra de plus, par les règles connues, que la différentielle de la quantité qui est sous le signe radical dans le dénominateur soit nulle aussi : III. 77

610 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT c'est pourqoi on aura ces deux équations de condition

[(3/r2- E2 - ((3 - a) IP] [- y k2 + E2 + (y - a) IP] = o, [ (3 /f2 - E2 - ( (3 - a ) IP] ( y - a ) II - [ - y /,2 + E2 -t- ( y - « ) D?] ( (3 - a ) n = o.

La première donne : ou

(3/,-2- E2— ((3-a)IP=o,

auquel cas la seconde donnera

ou n = o ou y /t"-' — E2 — ( y — a ) D? = o ;

ou bien

yk2 — E2— (y — a) II2 = o,

auquel cas la seconde donnera

ou II = o ou (3/<-2 — E2 — ((3 — a)D?=o; d'où l'on voit qu'il faut nécessairement que de ces trois quantités

n, p/r2— E2— !{3 — tx)W, y/»'2 - E2 — ( y — a) n2,

deux soient nulles à la fois; ce qui donne trois combinaisons, et par conséquent trois cas différents où l'axe de rotation instantanée pourra être fixe dans le corps; et comme on a

y/,2-E2-(y-*)IP p/(2 E2-((3-a)IP

il est clair que ces trois cas seront ceux où l'on aura en même temps W = o et <£> = o, ou n ' = o et $ = o, ou n = o et . W = o; dans le premier cas on aura par les formules ci-dessus

cosp=/", cos<r=i/v, cosm=/, dans le second on aura

COSp^g'", coso- = g' , cosm — g, et enfin dans le troisième

COSp = /î", C0S<7 = /(.', C0SU = /j.

DE KOTATION D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE, 011 On voit donc qu'il y a dans chaque corps trois lignes droites qui peuvent être des axes de rotation fixes, et qu'il n'y en a, généralement parlant, que trois; de plus, si l'on nomme s, s', s" les angles que ces trois axes font entre eux, il est facile de voir, d'après ce qu'on a dit dans le n° 5, qu'on aura, en général,

g/i + g' h' -i- g" h" = cose,

fh -+-/'/>' -hf"h"= cose',

fg +f'g' +f"g" = cose".

de sorte que (7) à cause de

fg-+-f'g'+f"g" = °> fh+f>h'+f"h" = o,

gh -f- g' h' -h g"h" = o, on aura

cose = o, cose'— o, cose"=o,

et par conséquent

d'où il s'ensuit que les trois axes dont il s'agit seront nécessairement perpendiculaires entre eux.

Enfin, comme

dx- -+- dy- -t~ dz- ~dt-

exprime le carré de la vitesse de chaque particule du corps, et que cette quantité est représentée, en général, par la formule .

(pdy 4- q <M\' , ( rd<]i -h pdva\- iqdm — rda

dt j ^ \ dt j \ dt

si l'on V substitue les valeurs de -^, -^-, -^ en II , T, $ (Remarque

dt dt . dt 1

précédente) on trouvera que la vitesse d'une particule quelconque, pour laquelle les coordonnées sont/?, q, r, sera, dans le cas de H'=o et $ — o,

a n ^pf + qf"? + { rf" + pfy+(qf- rf> f ; dans le cas de II = o et $ = o,

(3 W >J(pg' + qg" f + ( rg" -V- pgf ■+■ ( qg - rg' f ;

et dans le cas de II = o et W = o,

y$ \J{ph'-h qh")2 + {rh"-hph)'-\-{qh— rli'f.

Ainsi ces vitesses seront constantes; par conséquent le mouvement de rotation du corps autour de chacun des trois axes dont il s'agit sera uniforme.

11. Remarque III. — Nous avons dit dans la Solution ci-dessus que l'équation (4), qui renferme le principe de la conservation des forces vives, pouvait se déduire des équations (i), (2), (3). Pour le démontrer, nous considérerons ces trois équations sous la forme (12) à laquelle nous les avons réduites dans le n° 8, et prenant les différentielles pour en faire disparaître les constantes A, B, C, nous aurons

'Çdl -+- z' du. — z"dv H- Id'Q + \i.dz' — vdz" = o, 7] d). + y' du- — j" dv -+- \dr\ -+- u.dy' — vdy" = o, Xd~k -+- x'dfj. — x"dv ■+- Xc/£ H- \j.dx' — vdx" = o,

mais par les formules du n° 4 on a, en faisant a = 1, a'=i, a"=i, b = o,

d\ = — x'dty — x"dy, dx' — \d<\ + x"dus, dx" — \dy — x'drs, d-n = — y ' d^ — f"dy, dy' = r,d<\i -hy"dm, dy" =r\dy — y'dta, d'C = — z'd'h — z" do, dz' = 'Çd'b -h z"dôj, dz" = 'Çdy — z'drs,

donc substituant ces valeurs, nos trois équations deviendront

'Ç(dl ■+■ [j.d<\i — vdy) -+- z' [du- — \dty H- vdm) — z" (dv 4- Idy — [j.dm) = o, ■n(dl -h \j.d<^ — vdy) -+■ y'ld[j. — ld<\> •+ vdrs) — y" (dv -+- Idy — fj.dm) = o, '£{ d~k -4- [J-dty — vdy) -+- x'{ du. —~hd<l> H- vdm ) — x" [dv -+■ 7\dy — u.dxn 1 = o,

lesquelles étant ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par 'Ç, ri, S, par z', y', x et par z", y", os", donneront, en vertu des formules du n° 2, ces trois-ci

d\ -+- u.d>\i — vdy — o, du. — Àf/d/ h- vdm = o, dv -+■ Idw — u.dw = o.

Et employant les transformations de la Remarque première, ces trois équations deviendront

/[^-(P-y)w]+-«r[^-(y-«)n*]+A[^-(a-p,nY]=o.

'/'[^-(P-î')w] + «'[l|-(r-«)n*] + A'[^-(«-P)nT] = o, r[^-(P-y)w] + «r[Ç-(7-«)n*] + A'[^*-(«-p)nv] = o,

lesquelles étant encore ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par/,/', /", par g, g', g" et par h, h', h", donneront enfin ces trois-ci

d n „ , ,Tr ,

qui serviront à déterminer les trois variables II, Y, $.

Or il est visible qu'en multipliant la première par II dt, la seconde par Tdt et la troisième par $di, et les ajoutant ensemble, on aura une équation intégrable dont l'intégrale sera

IP + \p + $2 = Const. ;

et multipliant de même la première par aUdi, la seconde par fiWdt, et la troisième par y$dl, on aura, après les avoir ajoutées ensemble, une nouvelle équation intégrable, et dont l'intégrale sera

«IP + (3lP-i-y$2= const.

Ces deux équations sont les mêmes qu'on a trouvées dans la Remarque I, et les mêmes que les équations (11) de la Solution précédente, dont la seconde renferme le principe de la conservation des forces vives. •

12. Remarque IV. — Si l'on supposait que chaque particule du corps dm fût sollicitée par des forces quelconques, il n'y aurait qu'à réduire ces

dt-

forces à trois, dirigées suivant les coordonnées x, y, z, et, les représentant par les quantités X, Y, Z, on aurait par les principes connus de la Mécanique, au lieu des équations (i), (2), (3) du n° 8, ces trois-ci

2( Se )àm^(xY-rX)Sm,

Z d2X X d-Z\ „ V^ , xr r. <v

m = > (z\ — xl )àm,

Or, comme

xd-y — yd'x = d(xdy — ydx),

z d2x — x d-z = d(zdx — xdz),

yd2z — z d2y = d(ydz — zdy),

il est clair qu'on aura des équations de la même forme que celles dont nous venons de parler, avec cette différence que les quantités A, B, C ne seront plus constantes, mais auront ces valeurs

-7- =2LI(Z~^L- — xZ)ôm, -^=^(yZ-zY,om.

De plus, le principe de la conservation des forces vives donnera aussi une équation semblable à l'équation (4) avec cette différence que la quantité D2 devra être telle, que l'on ait

d ( D2 ) = Y ( Xdx -+- Y dy ■+■ Z dz ) S m .

Ainsi, quand les quantités X, Y, Z seront données en x, y, z, on pourra employer les substitutions et les transformations dont nous avons fait usage dans le Problème précédent.

En général, il est clair qu'il n'entrera dans les équations du Problème que les variables x ', y', s', x", y", z", |, vj, 'Ç et d<\i, diz, do; mais les six dernières sont des fonctions données des six premières (2 et 4), et

DE ROTATION D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE. (iJ5 l'on a de plus entre celles-ci trois équations (2) par lesquelles on peut en déterminer trois par les trois autres. En effet, l'équation

x'2 -+- y'2 -f- s'2= a donne d'abord

z' = \ja — x'2 — y'2 ; ensuite l'équation

donne

dont le carré, étant retranché de l'équation

y"2 -+- z"2~ a — x"'1 multipliée par y'- + z"2, donne celle-ci

(y'z" — z'y")2 = (a — x""-){y'2 -\- z'2) — (b — x'x" f; ainsi, combinant ces deux équations

on trouvera y" et z": en sorte que les trois quantités z', y" et z" seront données par ces trois autres x', y' et oc". Moyennant quoi il n'y aura, à proprement parler, que trois variables ; et la difficulté se réduira à déterminer ces variables par le temps t.

13. Remarque V, — Puisqu'on a, en général, dans la Solution précédente

il est clair qu'en faisant

on aura

x = \, yz=n, z = 'Ç;

que de même on aura

x = x', yz=y', z = z' ,

en faisant

616 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT, ETC. qu'enfin on aura

en faisant

donc, si l'on fait ces suppositions dans les valeurs de 6, 0 et n (ce qui donnera

n = 1 , 0 = /, fc) = — u —r V -tl i

dans le premier cas, dans le second cas,

flftp" r/ro

dans le troisième cas), on aura les valeurs des quantités S, nj, Ç, a?', j', z', a;", y", z", lesquelles seront les mêmes pour tous les points du corps; et ces quantités étant connues en t, on aura par les expressions ci-dessus les coordonnées x, y, z pour chaque point du corps dont la position dans le corps même dépendra des coordonnées/?, q, r.

14. Remarque VI. — Si le corps qu'on a supposé jusqu'ici fixement arrêté par un de ses points, était entièrement libre, alors il n'y aurait qu'à prendre, à la place de ce point supposé fixe, le centre de gravité de tout le corps, car on sait que les mouvements de rotation se font autour de ce centre comme s'il était fixe; et à l'égard du mouvement de ce centre, on le déterminera par la considération qu'il doit être le même que si toutes les forces qui agissent sur les différentes parties du corps y étaient appliquées: tout cela est trop connu pour que nous devions nous arrêter à en donner la démonstration.

SPHÉROÏDES elliptiques.

[Nouveaux Mémoires de /'.-(endémie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1773.)

Quelques avantages que l'Analyse algébrique ait sur la méthode géométrique des Anciens, qu'on appelle vulgairement, quoique fort improprement, synthèse, il est néanmoins des Problèmes où celle-ci paraît préférable, tant par la clarté lumineuse qui l'accompagne, que par l'élégance et la facilité des solutions qu'elle donne. 11 en est même pour lesquels l'analyse algébrique paraît en quelque sorte insuffisante, et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable d'atteindre.

Le Problème où il s'agit de déterminer l'attraction qu'un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé sur sa surface, ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Maclaurin, qui a le premier résolu ce Problème dans son excellente Pièce sur le/lux et le reflux de la mer. couronnée par l'Académie des Sciences de Paris en 1740, a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement sur quelques propriétés de l'ellipse et des sphéroïdes elliptiques; et il faut avouer que cette partie de l'Ouvrage de M. Maclaurin est un chef-d'œuvre de Géométrie, qu'on peut comparer à tout ce qu'Archimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des Anciens, il n'est pas surprenant qu'il l'ait

employée clans la solution du Problème dont nous venons, de parler; mais il l'est extrêmement, ce me semble, qu'un Problème aussi important que celui-là n'ait pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique, surtout dans ces derniers temps où l'Analyse est devenue d'un usage si commun et si général. On ne peut, je crois, en attribuer la cause qu'aux difficultés de calculs que la solution de cette question doit renfermer lorsqu'on l'envisage sous un point de vue purement analytique. Ce n'est pas qu'il ne soit aisé de trouver, et que même différents Géomètres n'aient déjà donné des formules générales pour déterminer l'attraction qu'un corps de figure quelconque exerce sur un point placé où l'on voudra ; mais la grande difficulté consiste dans l'intégration de ces formules, et il parait qu'on n'a pu y réussir jusqu'à présent qu'en se bornant à l'hypothèse que le solide soit très-peu différent d'une sphère. On trouve à la vérité dans les Ouvrages de M. Thomas Simpson une solution purement analytique du Problème de M. Maclaurin, dans laquelle on ne suppose point que le sphéroïde elliptique soit à très-peu près sphérique; mais d'un autre côté cette solution a le défaut de procéder par le moyen des séries, ce qui la rend non-seulement longue et compliquée, mais encore peu directe et peu rigoureuse.

Je me propose dans ce Mémoire de faire voir que bien loin que le Problème dont il s'agit se refuse à l'Analyse, il peut être résolu parce moyen d'une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie de la synthèse; ce qui servira à détruire un des principaux arguments que les détracteurs de l'Analyse puissent apporter pour la rabaisser et pour prouver la supériorité de la méthode synthétique des Anciens.

Problème I.

I. Trouver l'expression générale de l'attraction qu'un corps défigure donnée exerce sur un point placé ou l'on voudra, en supposant que chaque particule du corps attire le même point comme une fonction quelconque de la distance.

Soient a, b, c les trois coordonnées rectangles qui déterminent la posi-

DES SPHEROÏDES ELLIPTIQUES. 621

tion du point donné par rapport à trois axes fixes pris à volonté, et soient de même x, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d'une particule a du corps par rapport aux mêmes axes, il est clair que la distance entre cette particule et le point attiré étant nommée r, on aura

donc désignant, en général, par R la fonction de rk laquelle l'attraction est supposée proportionnelle, on aura aR pour l'attraction exercée par la particule a suivant la direction de la ligne r; et il est facile de voir que pour décomposer cette attraction suivant les directions des lignes a, b, c perpendiculaires entre elles et parallèles aux trois axes fixes, il n'y aura qu'à la multiplier respectivement par

de plus il est visible que la particule a peut être représentée par le parallélépipède infiniment petit dxdydz; ainsi l'on aura ces trois attractions élémentaires

M*=a)dxdy,dSt ^Z-Zhdx(irdz, *«*-* dxdydz,

et il ne s'agira plus que de les intégrer en sorte que l'intégration s'étende à tous les points du corps.

Pour cela on commencera par intégrer en faisant varier une seule des trois coordonnées x, y, z, comme s, et l'on étendra cette intégrale jusqu'aux valeurs extrêmes de z qui répondent à la surface du corps; or lafigure du corps étant donnée on aura une équation entre x, y, z, pour exprimer la surface de ce corps, et par laquelle on pourra déterminer les valeurs extrêmes de s en x et y; de sorte qu'après ces substitutions il n'y aura plus que deux variables x et y; on intégrera donc une seconde fois en faisant varier une seule d'entre elles comme y, et il faudra de nouveau étendre l'intégrale jusqu'aux valeurs extrêmes de y qu'on trouvera en cherchant la plus grande et la plus petite valeur de y lorsque x

est constant et z variable dans l'équation à la surface; moyennant quoi ces valeurs de y seront données en x seul; et il n'y aura plus qu'à intégrer par rapport à cette dernière variable, et à étendre l'intégrale aux valeurs extrêmes de x, c'est-à-dire à la plus grande et à la plus petite valeur de x, lorsque/ et z sont supposées variables à la fois dans l'équation donnée.

•2. Remarque. — Quoique les formules que nous venons de trouver soient celles qui se présentent le plus naturellement, ce ne sont cependant pas celles qui sont les plus commodes pour le calcul.

Pour en donner un exemple, prenons le cas où le corps attirant serait une sphère, et où l'attraction se ferait en raison inverse des carrés des distances; on aura donc

ce qui donnera ces trois formules

(x — a ) dx dy dz (y — b ) dx dy dz (z — c) dx dy dz

qu'il faudra intégrer suivant les conditions énoncées dans le numéro précédent, et comme la surface du corps est supposée sphérique, si l'on prend, ce qui est permis, l'origine des coordonnées x, y, z dans le centre même de la sphère, et qu'on nomme /le rayon, on aura pour l'équation à la surface