ADDITION AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT
[Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1775.)
Les remarques contenues dans la lettre de M. d'Alembert, dont j'ai eu 'honneur de faire part à l'Académie il y a huit jours, m'ont donné occa-
(*) Lu le 9 novembre 1775.
sion de chercher si le Théorème de M. Maclaurin concernant l'attraction d'unellipsoïde sur un point quelconque placé dans le prolongement de l'un de ses trois axes ne pourrait pas se déduire, des formules que j'ai données dans ce Mémoire ; et je crois que les Analystes verront avec plaisir avec combien de facilité on peut parvenir par ces formules à la démonstration du Théorème dont il s'agit.
1 . Soit un sphéroïde elliptique représenté par l'équation z- -+- jiix2 ■+■ nf2 = h,
nous avons trouvé dans le n° 14 du Mémoire cité que l'attraction de ce sphéroïde sur un point placé hors de lui, dans le prolongement de l'axe des coordonnées z (qui est en même temps un des axes du sphéroïde), et à la distance c du centre, est exprimée par l'intégrale de la formule
Adq [ ,T ,/ me1 <Jk
i—i.ih — i.1. xarctang — 3==
sji
en supposant qu'on mette dans cette formule meos^q -+- ns\n2q à la place de m, et qu'ensuite on prenne l'intégrale depuis q = o jusqu'à q = 1800; et comme les valeurs de sin2^ et cos2^ reviennent les mêmes dans le second quart de cercle, on pourra se contenter de prendre l'intégrale depuis q = o jusqu'à q = 900, et de la doubler.
Donc, si l'on fait pour plus de simplicité — = g, et qu'on écrive m à
la place de m en sorte qu'on ait m' = m cos2q -h ns'm2q, l'attraction dont il s'agit sera exprimée par l'intégrale prise depuis q — o jusqu'à q = t)o° de la formule
8dqJh ,
X arc tang
DES SPHEROÏDES ELLIPTIQUES. 653
Or
I+C0S20 . I — cosao cos-<7 = -s sm2q — ^-,
donc
ra -+- n -+- (m — n) cosiq
Soit maintenant
tangç = t,
dt
x + t2' dq~
cos?.</
[m -h n) (i -+- t2) -+- (m — n) (i — i2) m + nt
m -t- nt2
1 — /» 1 — m -t- ( 1 — ti) /2
et' la différentielle précédente deviendra par ces substitutions
1 / m + nt2
- \/ — — ; -r, X arc tang
et comme q = o donne £ = o, et <y = 900 donne ï = 30 , il s'ensuit que pour avoir l'attraction entière il faudra prendre l'intégrale de cette quantité depuis t = o jusqu'à t = 00 .
2. On voit par l'équation générale du sphéroïde, laquelle donne z2 = k lorsque a: et y sont nuls, que sfic est le demi-axe, en sorte que, taisant c= \Jlc, le point attiré tombe sur la surface ; or dans ce cas on a g = 1 , ce qui simplifie un peu la formule précédente. Mais je vais faire voir que quelle que soit la valeur de g, on peut toujours ramener la formule à la même forme que dans le cas de g = 1 .
Pour cela je suppose
m -}-- nt- 2 \i. -t- v6'-
p. et v étant des coefficients indéterminés et 6 une nouvelle variable; et je tire de là
, __ g2(i — m)u — m(i — p.) + [g2(i — m)v — m(i — v)]62 n{i- y.) — g2{i — n)iJ.-h \n{i- v) — g2{i — n)v]B2 '
je suppose maintenant
g-(i — m) y. — m{\ — [j.)= o, n{\ — v) — g2{i — n)v = o, ce qui me donne
m-h(i — m) g* ii+(i — n)g-
'aurai ainsi
«(i— fj.) — g2(i — n)(j.
savoir, en substituant les valeurs précédentes de p. et v,
'2(i — n) + n et de là
de plus, a cause de r = — y-, on aura 1 nu.
( i — m) nu. -+- ( i — n)mvô2 i - «H2 = — r .. 5
m H- ( i — rail
mais les deux équations ci-dessus donnent
DES SPHÉROÏDES ELLIPTIOUES.
ïioe
donc on aura
[, p + (,v)fl.]
Faisant donc ces substitutions dans la formule différentielle du numéro précédent et supposant, pour abréger,
[g* (i — m) + m] [g-2(i — ra) -H- «.]
elle deviendra
Vr-
X arc tang
et comme 0 est égal à zéro lorsque *= o, et égal à co lorsque z = oo , il s'ensuit qu'il faudra prendre aussi l'intégrale de cette formule depuis 6 — o jusqu'à 0 = oc .
3. Cette transformée en ô est, comme on voit, entièrement semblable à la formule ci-dessus en t dans le cas de g= i, les quantités jjl, v, / répondant aux quantités m, n, k; donc puisque les deux valeurs extrêmes des variables t et 6 doivent être les mêmes, il s'ensuit que l'intégrale de la différentielle en t du n° 1 , quelle que soit la valeur de g, sera exprimée par une fonction de p., v, / semblable à la fonction de m, n, k par laquelle sera exprimée la même intégrale dans le cas de g = i .
Donc l'attraction du sphéroïde représenté par l'équation
z- -t- mx- -+- ny'1 = k
sur un point placé hors de lui dans l'axe des z à la distance c du centre sera égale à l'attraction du sphéroïde représenté par l'équation
sur un point de sa surface dans le même axe des z.
h. Les trois demi-axes du sphéroïde représenté par l'équation
z2 H- mx1 -+- raj-2 = If,
auxquels les coordonnées x, y, z sont supposées parallèles, sont i/— »
\/-» \Jk; nommant donc ces demi-axes a, b, c, on aura
k = c1, m = — s /i = tt5 a2 o-
et désignant par h la distance du point attiré au centre du sphéroïde, distance que nous avons nommée plus haut c, on aura (1)
donc, substituant ces valeurs dans les formules du n° 2, on aura
iJ- = ^2+aJ c-i' v — fc+b2 — c2' x ~~ (/V-f-a2— c2)(/Vh--62 — c2)'
donc, si l'on nomme de même «, j3, y les trois demi-axes correspondants du sphéroïde représenté par l'équation
z2 -t- p.x2 + vf2 = x>
et qui sont \/-> V/-' V/. on aura, en substituant les valeurs précédentes de p., v, y,
abc
h si h2 + b2— c-
abc
h \Jh2 -+- a' — c2
abc
\jh2 -+- a2 — c2 y'/V h- A2 — c2
Donc, si l'on a un sphéroïde elliptique dont les trois demi-axes soient a, b, c, l'attraction de ce sphéroïde sur uu point placé dans le prolongement d'un de ces axes comme c, à la distance h du centre, sera égale à l'attraction qu'un autre sphéroïde dont les trois demi-axes seraient a, /3, y exercerait sur un point placé à l'extrémité du demi-axe y.
Si l'on fait h — c, on voit que les quantités a, ]3, y deviennent a, b, c, et par conséquent les deux sphéroïdes reviennent au même; ce qui doit être pour l'exactitude de nos formules.
5. Imaginons un autre sphéroïde dont les trois demi-axes soient/, g, h, et qui soit entièrement semblable à celui dont les trois demi-axes sont <z, |3, y; il faudra donc que l'on ait
f*h ph
par conséquent, si l'on substitue pour «, ]3, y les valeurs précédentes, on aura
f = y! h- -h b2 — c', g = y/A2 -+- a2 — c2 ; donc
et par conséquent aussi
f2 g2=zb2 fl2
Donc, si le sphéroïde donné dont les trois demi-axes sont a, b, c, et le sphéroïde dont les demi-axes sont/, g, h sont supposés décrits autour du même centre, et en sorte que leurs axes respectifs soient placés dans les mêmes lignes, les coupes elliptiques de l'un et de l'autre sphéroïde faites par un plan passant par deux axes auront le même centre et les mêmes foyers, par les propriétés connues des sections coniques.
6. Par les formules du n° 1 on voit que l'attraction sur un point placé à l'extrémité du demi-axe \fk (en faisant c = \[k ou ^=1) est proportionnelle à \ik tant que les quantités m et n demeurent les mêmes; donc (4) l'attraction de deux sphéroïdes semblables sur des points placés aux extrémités de leurs axes respectifs est proportionnelle à ces axes. Donc l'attraction du sphéroïde, dont les axes sont 2/ 2g, 2 h sur un point placé à l'extrémité de l'axe 2 h, est à l'attraction du sphéroïde semblable, dont les axes sont 2«, 2j3, 27 sur un point placé à l'extrémité III. 83
de l'axe 27, comme 2/1 est à 27 ou comme 1 est à j\ mais- (a cause tle
r ah P>h\
et (4)
a (3 abc y h2 1
donc
y abc
Ainsi la proportion dont il s'agit sera égale à celle de 1 à 77—^ ou de fgh à abc.
De là et de ce cpa'on a démontré plus haut il s'ensuit que l'attraction d'un sphéroïde elliptique sur un point placé dans le prolongement d'un de ses trois axes sera à l'attraction qu'exercerait sur le même point un autre sphéroïde qui aurait le même centre, la même position des axes, dont les coupes elliptiques faites par les mêmes plans passant par deux axes auraient les mêmes foyers, et dont la surface passerait par le point donné, en sorte que ce point se trouvât à l'extrémité d'un de ses axes, l'attraction, dis-je, du premier sphéroïde sera à celle du second comme le produit des trois axes du premier au produit des trois axes du second sphéroïde.
C'est le Théorème que M. Maclaurin a énoncé sans démonstration dans l'Art. 653 de son Traité des fluxions , et que nous nous étions proposé de déduire de nos formules.
