EXTRAITS DE DEUX LETTRES DE D'ALEMBERT A LAGRANGE

( Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1774.)

LETTRE DU l5 SEPTEMBRE 1773.

La lecture de votre excellent Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques, inséré dans le volume de 1773, m'a fait revenir un moment sur ce que j'avais donné dans le sixième volume de mes Opuscules, relativement à cette matière, et j'ai trouvé que le Théorème de M. Maclaurin, sur lequel j'avais formé quelques doutes, pages 242 et 243, Art. 54, et qu'il a III. 82

énoncé sans démonstration, est en effet très-vrai. Pour le faire voir, je reprends l'équation de la page 236 de mon sixième volume

et j'ajoute au premier membre b'1 — c2, et au second B2 — C2, qui lui est égal par l'hypothèse,

ce qui donne

sin2Z

en raison constante avec

De même ajoutant au premier membre a2— c2, et au second A2 — C2, qui lui est égal (hypothèse), et mettant au numérateur i — cos'Z pour sin2Z, et i — cos2Z' pour sin2Z', on verra facilement que

cos2Z

• ii b'— à' i -i- sin2 Z = —

i -i- sin2

lb"

sin:

i + sin2 Z

sera en raison constante avec

cos2Z'

d'où l'on tire aisément le reste de la démonstration , par la même méthode que dans les pages a36 et 237.

Il faut encore remarquer, pour la fin de la page 242, Art. S3, que l'équation

n'a lieu dans la supposition dont il s'agit, qu'en faisant S = C, parce que C2 — B'2 est supposé égal à c- — 6"; et qu'ainsi il ne se trouve point, dans cette équation

de quantité S qui soit différente de C.

Comme il me semble que vous n'avez pas traité dans votre excellent Mémoire le cas du Théorème dont il s'agit, j'ai cru cette. remarque digne de vous être communiquée.

LETTRE DU 10 DÉCEMRE 17/5.

Je suis bien aise que vous ayez trouvé par votre théorie, comme vous me faites l'honneur de me le mander, une démonstration analytique du Théorème de Maclaurin, dont je vous envoyai il y a deux mois la démonstration synthétique. C'est aussi par une voie analytique, dont le détail aurait été trop long dans une lettre, que j'avais trouvé la démonstration de ce Théo-

rème. Je me contenterai de vous dire ici en peu de mots, que, si, en suivant les dénominations

c 2 — b'2 des pages 233 et suivantes du sixième volume de mes Opuscules, on suppose que — p — ou

~ soit le môme dans les deux sphéroïdes, et qu'on fasse or

w et 5 — = o-

je trouve que les attractions des deux sphéroïdes seront entre elles en raison donnée et connue, si la quantité

du i

— C2 la2C2 -h C2 — // ,

M 1/ ÏT' M "

b2 — c2 est la même dans les deux sphéroïdes, c'est-à-dire si — p — est constant dans ces deux sphéroïdes, ainsi que — ;— = r™ — Or il est facile de tirer de celte double condition l'équation

A2 = B2 — b2 ■+- a- ou A2 — B2 = a- — b'.

Il me semble encore que, pour trouver dans votre théorie l'attraction d'un sphéroïde de révolution en un point quelconque de l'équateur, dont je suppose le plan parallèle à celui des x et des y (ce qui donne, non plus m — «, mais m = i, et n égal à tout ce qu'on voudra), il est nécessaire de changer les dénominations de z, x et r, et qu'il faut supposer

y = r sin/>, x = r cosp sin </, z = c — /• cosp cosy,

c étant l'axe parallèle aux z. b égal à r l'axe parallèle aux x, et a Taxe parallèle aux y, suivant les dénominations que j'ai données à ces axes dans le sixième volume de mes Opuscules. Par cette transformation l'attraction du sphéroïde à l'équateur se trouvera aussi facilement que l'attraction au pôle; et vous pouvez remarquer que cette transformation est analogue à la solution de M. Maclaurin, qui consiste à chercher l'attraction des coupes elliptiques et semblables, perpendiculaires au plan de l'équateur, et ayant toutes une même commune section.