III
centre de gravité de la pyramide, ces expressions fort simples
35. Si l'on imagine qu'il y ait aux quatre coins de la pyramide des corps de masses quelconques égales entre elles, il est visible que le moment de ces corps, que je suppose égaux à Q, par rapport à un plan passant par le sommet de la pyramide et perpendiculaire à l'axe des x, sera
ce qui, étant divisé par la somme des masses 4Q. donnera
pour la distance du centre de gravité de ces quatre corps au même plan. On trouvera de même que la distance du même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l'axe des y sera exprimée par
et qu'enfin la distance de ce même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l'axe de z sera
Or ces distances ne sont autre chose que les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre dont il s'agit par rapport aux mêmes axes; donc les coordonnées du centre de gravité des quatre corps Q placés aux quatre coins de la pyramide sont (numéro précédent) les mêmes que celles du centre de gravité de toute la pyramide; par conséquent ces deux centres coïncident, ce qui fournit ce Théorème de Statique assez remarquable par sa simplicité : Le centre de gravité de toute pyramide triangulaire est le même que celui de quatre corps égaux qu'on imaginerait placés aux quatre angles de la pyramide.
36. Si l'on veut déterminer la position du centre de gravité par ses
distances aux quatre coins de la pyramide, nommant <p le carré de la distance de ce centre au sommet, et di, <|/, <]/' les carrés de ses distances aux trois angles M, M', M" de la base, on aura
<\i = {x -sy+(y —ty+(z -u)2, <\i' — (x' — s)2 -h [y' — ty-+- (z' — u)2, Y = (x" ~ s)2-+- {y" — t)2-h (z" — u)2;
donc, substituant pour s, t, u les valeurs ci-dessus, développant les termes et faisant les substitutions du n° 1, on aura
, qa -*-«'-+- a" -+- 1 ( b — 3b' — 36")
ib
, , a + qa' -h- a" -+- i ( — 3 b -t- b' — 3 b" )
d + a' + qa" + 2( — 36 — 3 b' -t- b" ) + =- -1B
37. On pourrait chercher maintenant à déterminer la position mutuelle des trois points que nous venons de considérer dans la pyramide, c'est-à-dire le centre de la sphère circonscrite, le centre de la sphère inscrite et le centre de gravité de la pyramide même, et il est clair que si, pour distinguer les coordonnées des centres des deux sphères, on désigne par /, m, n celles du centre de la sphère circonscrite que nous avons désignées par/?, q, r (21), et que l'on conserve ces dernières lettres pour marquer les coordonnées du centre de la sphère inscrite ainsi qu'on en a usé (29), il est clair, dis-je, qu'on aura
{l- py+(m — q)2-h{n — r)2
pour le carré de la distance entre les centres des deux sphères, l'une inscrite, l'autre circonscrite,
692 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES, ETC. pour le carré de la distance entre le centre de la sphère circonscrite et le centre de gravité, et enfin
(/? — s)2 -h (q — t)*+{r— uf
pour le carré de la distance entre le centre de la sphère incrite et le même centre de gravité. Or faisant dans ces expressions les substitutions des valeurs de l,m, n,p, q,... (21 , 29, 34), et développant ensuite les termes on trouvera, à l'aide des formules du n° 1, des quantités indépendantes des coordonnées x, y, z, ce' , y', ... et qui seront uniquement des fonctions de a, a', a", b, b', b" , c'est-à-dire des côtés de la pyramide. Par le moyen de ces formules et de celles que nous avons trouvées précédemment on pourra résoudre différents Problèmes curieux et nouveaux sur les pyramides triangulaires; mais en voilà assez sur un sujet que je n'ai presque traité que pour donner un exemple de l'application de l'Analyse à ces sortes de recherches.
